Свойства непрерывных отображений на компактных множествах в R^n

Если \(K\) — компакт и \(f:K\to Y\) непрерывно, то \(f(K)\) компактно. Поэтому для вещественной непрерывной функции на непустом компакте достигаются максимум и минимум, а сама функция ограничена. Кроме того, непрерывное отображение компакта в метрическое пространство равномерно непрерывно. Для непрерывной биекции с компактного пространства в метрическое её обратное отображение также непрерывно.1

Что важно запомнить
  • Непрерывный образ компакта компактен.
  • Непрерывная вещественная функция на непустом компакте ограничена и достигает \(\max \) и \(\min \).
  • Непрерывное отображение на компакте равномерно непрерывно.
  • Непрерывная биекция с компакта на метрическое пространство является гомеоморфизмом на свой образ.

Непрерывный образ компакта

Пусть \(K\) — компакт в метрическом пространстве \(X\) и \(f:K\to Y\) непрерывно. Тогда \(f(K)\) является компактом в \(Y\). Доказательство строится через открытое покрытие \(f(K)\): его прообразы образуют открытое покрытие \(K\), из которого выбирается конечное подпокрытие. После перехода к образам получается конечное подпокрытие \(f(K)\).1

Теорема Вейерштрасса

Если \(K\) непуст и \(f:K\to \mathbb{R}\) непрерывна, то \(f\) ограничена и существуют точки \(x_{\min},x_{\max}\in K\) такие, что

\(f(x_{\min})=\min _{K} f\), \(f(x_{\max})=\max _{K} f\).

Это следует из компактности \(f(K)\subseteq \mathbb{R}\). Компакт в \(\mathbb{R}\) замкнут и ограничен, поэтому содержит свои \(\inf \) и \(\sup \).1

Теорема Кантора

Если \(f:K\to Y\) непрерывно на компакте \(K\), то \(f\) равномерно непрерывно. Для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует одно \(\delta \gt 0\), которое работает одновременно для всех \(x,y\in K\):

\[\rho _{X}(x,y)\lt \delta \Rightarrow \rho _{Y}(f(x),f(y))\lt \varepsilon \].

Компактность позволяет из локальных окрестностей непрерывности выбрать конечное число и взять общий положительный минимум для \(\delta \).1

Непрерывная биекция

Если \(f:K\to Y\) непрерывна и биективна, \(K\) компактен, а \(Y\) метрическое пространство, то \(f^{-1}:Y\to K\) непрерывно. Поэтому такая биекция является гомеоморфизмом.

Для \(K\subseteq \mathbb{R}^{n}\) эти утверждения применяются, в частности, к любому замкнутому и ограниченному \(K\).

Пример простыми словами

На замкнутом единичном диске \(K=\{(x,y): x^{2}+y^{2}\le 1\}\) функция \(f(x,y)=x^{2}+y^{2}\) непрерывна. Её образ равен \([0,1]\), минимум \(0\) достигается в \((0,0)\), максимум \(1\) достигается на окружности. Кроме того, \(f\) равномерно непрерывна на всём диске.

Частые ошибки
  • Достижение максимума и минимума требует непустого компакта, а не просто произвольного ограниченного множества.
  • Непрерывность влечёт равномерную непрерывность на компакте, но не на произвольном множестве.
  • Непрерывный образ замкнутого множества вообще не обязан быть замкнутым. Здесь работает компактность.
  • В теореме Вейерштрасса условие непустоты \(K\) существенно для существования точек максимума и минимума.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Второй семестр. Мехмат МГУ, 2018 г. Раздел о непрерывных отображениях и компактах: следствие о компактности непрерывного образа, теорема Вейерштрасса, теорема Кантора о равномерной непрерывности и теорема о непрерывной биекции с компакта.