Подмножество \(M\) метрического пространства связно, если его нельзя представить как объединение двух непустых непересекающихся множеств, открытых в \(M\). Эквивалентно в \(M\) нет нетривиального множества, которое одновременно открыто и замкнуто. Ещё один критерий: всякое непрерывное отображение \(M\) в двухточечное пространство \(\{0,1\}\) с дискретной метрикой
Что важно запомнить
- Связность запрещает разбиение на две непустые раздельные открытые части.
- Открытость частей понимается в топологии самого \(M\).
- Связность эквивалентна отсутствию нетривиальных открыто-замкнутых подмножеств.
- Непрерывное отображение \(M\to \{0,1\}\), где \(\{0,1\}\) снабжено дискретной метрикой, на связном \(M\) постоянно.
- Связность слабее путевой связности.
Определение связности
Пусть \(M\) — подмножество метрического пространства \(X\). Множество \(M\) называется несвязным, если существуют непустые множества \(A,B\subseteq M\) такие, что \(A\cap B=\varnothing , M=A\cup B\) и \(A,B\) открыты в метрическом пространстве \(M\) с индуцированной метрикой. Если такого разделения нет, \(M\) называется
Критерий через открыто-замкнутые множества
\(M\) связно тогда и только тогда, когда единственные подмножества \(M\), которые одновременно открыты и замкнуты в \(M\), — это \(\varnothing \) и \(M\). Если существует нетривиальное открыто-замкнутое множество \(A\), то \(A\) и \(M\setminus A\) дают разделение \(M\).
Критерий через непрерывное отображение
Снабдим \(\{0,1\}\) дискретной метрикой. Тогда \(M\) связно тогда и только тогда, когда всякое непрерывное отображение \(f:M\to \{0,1\}\) постоянно. Если \(f\) принимает оба значения, прообразы \(\{0\}\) и \(\{1\}\) образуют разделение \(M\). Обратно, по разделению можно построить непрерывное отображение, равное \(0\) на одной части и \(1\) на
Связные множества на прямой
В \(\mathbb{R}\) связными являются именно промежутки. Это важный специальный случай общего понятия связности.
Пример простыми словами
Множество \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\) несвязно: оно распадается на два непустых открытых в нём множества \((-\infty ,0)\) и \((0,+\infty )\). Отрезок \([0,1]\), наоборот, связен.
Частые ошибки
- Открытость частей разделения рассматривается в относительной топологии самого \(M\).
- Геометрическая связность «на рисунке» не заменяет доказательства по определению или критерию.
- Путевая связность влечёт связность, но обратное в общем метрическом пространстве неверно.
- Объединение двух связных множеств не обязано быть связным. Непустое пересечение является стандартным достаточным условием.
