Метрическое пространство \(M\) линейно, или путево, связно, если любые две его точки \(x_{0}\) и \(x_{1}\) можно соединить непрерывным путём \(\gamma :[0,1]\to M\) с \(\gamma (0)=x_{0}\) и \(\gamma (1)=x_{1}\). Путевая связность всегда влечёт связность. Обратное в общем метрическом пространстве неверно, но для открытого подмножества нормированного пространства связность эквивалентна путевой
Что важно запомнить
- Путь — непрерывное отображение \(\gamma :[0,1]\to M\) с заданными концами.
- Путевая связность сильнее обычной связности.
- Выпуклое множество путево связно прямолинейным путём.
- Для открытых подмножеств нормированного пространства связность и путевая связность эквивалентны.
- Путевая связность не означает, что весь отрезок между точками обязан лежать в множестве.
Определение
Множество \(M\) в метрическом пространстве называется линейно, или путево, связным, если для любых \(x_{0},x_{1}\in M\) существует непрерывное отображение
\(\gamma :[0,1]\to M\), \(\gamma (0)=x_{0}\), \(\gamma (1)=x_{1}\).
Отображение \(\gamma \) называется непрерывным путём, соединяющим \(x_{0}\) и
Связь с обычной связностью
Всякое путево связное множество связно. Если бы \(M\) распадалось на две непустые раздельные открытые части, то путь между точками из разных частей дал бы непрерывное отображение отрезка \([0,1]\) в \(M\). Его образ был бы связным и не мог бы пересечь обе части.
Обратное утверждение для произвольных метрических пространств неверно. Существуют связные множества, в которых не любые две точки можно соединить путём.
Нормированные пространства
Если \(M\) — открытое подмножество нормированного пространства, то \(M\) связно тогда и только тогда, когда \(M\) путево
Для выпуклого множества доказательство ещё проще. Если \(x_{0},x_{1}\in M\), то \(\gamma (t)=(1-t)x_{0}+tx_{1}\) остаётся в \(M\) при всех \(t\in [0,1]\). Поэтому всякое выпуклое множество путево связно и, следовательно, связно.
Линейная связность не равна выпуклости
Термин «линейно связное» означает существование непрерывного пути. Сам путь не обязан быть отрезком.
Пример простыми словами
Единичная окружность \(S^{1}\) в \(\mathbb{R}^{2}\) путево связна: любые две точки можно соединить дугой окружности. Но она не выпукла, поскольку отрезок между двумя противоположными точками проходит через внутренность круга и не лежит целиком в \(S^{1}\).
Частые ошибки
- «Линейно связное» здесь означает существование непрерывного пути, а не обязательного прямого отрезка.
- Связность и путевая связность не эквивалентны во всех метрических пространствах.
- Путь \(\gamma \) должен быть непрерывным на всём \([0,1]\).
- Для прямолинейного пути нужно отдельно проверить, что весь отрезок остаётся внутри множества.
