Если \(M\subseteq \mathbb{R}^{n}\) связно и \(f:M\to \mathbb{R}\) непрерывна, то \(f(M)\) связно, а значит является промежутком. Поэтому для любых \(x_{0},x_{1}\in M\) и любого числа \(c\) между \(f(x_{0})\) и \(f(x_{1})\) существует \(x\in M\) такое, что \(f(x)=c\). Это многомерная форма теоремы о промежуточном
Что важно запомнить
- Непрерывный образ связного множества связен.
- Связные подмножества \(\mathbb{R}\) — именно промежутки.
- Поэтому непрерывная вещественная функция на связном множестве принимает все промежуточные значения.
- Область определения должна быть связной.
- Точка, где достигается промежуточное значение, не обязана лежать на прямом отрезке между выбранными точками.
Непрерывный образ связного множества
Пусть \(X\) связно и \(f:X\to Y\) непрерывно. Тогда \(f(X)\) связно. Если бы \(f(X)\) можно было разделить на две непустые открытые части, их прообразы дали бы разделение \(X\), что противоречит
Случай вещественной функции
Связные подмножества \(\mathbb{R}\) являются промежутками. Поэтому если \(M\subseteq \mathbb{R}^{n}\) связно и \(f:M\to \mathbb{R}\) непрерывна, то множество значений \(f(M)\) является
Теорема о промежуточном значении
Возьмём \(x_{0},x_{1}\in M\) и число \(c\) между \(f(x_{0})\) и \(f(x_{1})\). Так как \(f(M)\) — промежуток и содержит оба числа \(f(x_{0})\) и \(f(x_{1})\), оно содержит и \(c\). Следовательно, существует \(x\in M\) такое, что \(f(x)=c\).
В частности, если \(f(x_{0})\lt 0\lt f(x_{1})\), то на связном \(M\) существует точка \(x\), для которой \(f(x)=0\).
Чем многомерный случай отличается от отрезка
На отрезке в \(\mathbb{R}\) теорему обычно формулируют для точки между \(x_{0}\) и \(x_{1}\). В \(\mathbb{R}^{n}\) связное множество может иметь сложную геометрию. Теорема утверждает существование некоторой точки в \(M\), а не обязательно точки на прямом отрезке между \(x_{0}\) и \(x_{1}\).
Пример простыми словами
На единичном диске \(D=\{(x,y): x^{2}+y^{2}\le 1\}\) функция \(f(x,y)=x\) непрерывна. Диск связен, поэтому \(f(D)\) — промежуток. В действительности \(f(D)=[-1,1]\), и каждое число \(c\in [-1,1]\) достигается, например, в точке \((c,0)\).
Частые ошибки
- Непрерывность функции без связности области определения не гарантирует промежуточных значений между двумя выбранными значениями.
- Искомая точка не обязана лежать на прямом отрезке между \(x_{0}\) и \(x_{1}\).
- Связность области определения не следует из связности графика и не заменяется ею.
- Для отображений в произвольное пространство нельзя механически переносить формулировку «между значениями», основанную на порядке в \(\mathbb{R}\).
