Для \(A\subseteq \mathbb{R}^{n}\) открытость означает наличие малого шара \(B_{r}(x)\subseteq A\) вокруг каждой точки \(x\in A\). Замкнутость эквивалентна открытости дополнения и содержанию всех предельных точек. Ограниченность означает \(A\subseteq B_{R}(0)\) для некоторого \(R\). Связность означает отсутствие разделения на две непустые относительно открытые части. Граница \(\partial A\) состоит из точек, каждый шар вокруг которых пересекает и \(A\), и \(\mathbb{R}^{n}\setminus A\). Областью называют непустое открытое связное
Что важно запомнить
- Открытое множество содержит шар вокруг каждой своей точки.
- Замкнутое множество содержит пределы сходящихся последовательностей своих точек.
- Ограниченность не связана автоматически с открытостью или замкнутостью.
- Граница: \(\partial A=\operatorname{cl} A\cap \operatorname{cl}(\mathbb{R}^{n}\setminus A)=\operatorname{cl} A\setminus \operatorname{int} A\).
- Область в \(\mathbb{R}^{n}\) — непустое открытое связное множество.
Открытые и замкнутые множества
Множество \(A\subseteq \mathbb{R}^{n}\) открыто, если для каждого \(x\in A\) существует \(r\gt 0\) такое, что \(B_{r}(x)\subseteq A\). Множество \(F\) замкнуто, если \(\mathbb{R}^{n}\setminus F\) открыто. Эквивалентно \(F\) замкнуто тогда и только тогда, когда из \(x_{k}\in F\) и \(x_{k}\to x\) следует
Ограниченность
\(A\) называется ограниченным, если существует \(R\gt 0\) такое, что \(A\subseteq B_{R}(0)\). Выбор центра \(0\) несущественен: если множество помещается в некоторый шар, оно ограничено.
Связность
\(A\) связно, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся множеств, открытых в \(A\). Для открытых подмножеств \(\mathbb{R}^{n}\) связность эквивалентна путевой
Внутренность, замыкание и граница
Внутренность \(\operatorname{int} A\) состоит из внутренних точек \(A\). Замыкание \(\operatorname{cl} A\) состоит из точек, каждый шар вокруг которых пересекает \(A\). Граница определяется формулами
\[\partial A=\operatorname{cl} A\cap \operatorname{cl}(\mathbb{R}^{n}\setminus A)=\operatorname{cl} A\setminus \operatorname{int} A\].
Эквивалентно \(x\in \partial A\) тогда и только тогда, когда каждый шар \(B_{r}(x)\) содержит точки \(A\) и точки дополнения \(\mathbb{R}^{n}\setminus A\).
Область
Областью в \(\mathbb{R}^{n}\) называют непустое открытое связное множество. Например, открытый шар является областью.
Пример простыми словами
Для открытого единичного шара \(B=\{x\in \mathbb{R}^{n}: \lVert x\rVert \lt 1\}\) имеем \(\operatorname{int} B=B, \operatorname{cl} B=\{x: \lVert x\rVert \le 1\}\), а \(\partial B=\{x: \lVert x\rVert =1\}\). Сам \(B\) открыт, ограничен, связен и является областью. Замкнутый единичный шар замкнут и ограничен, но не является областью, потому что не открыт.
Частые ошибки
- Открытость и замкнутость не являются взаимоисключающими. \(\varnothing \) и \(\mathbb{R}^{n}\) одновременно открыты и замкнуты.
- Замкнутость не означает ограниченность и наоборот.
- Граница не обязана принадлежать самому множеству. У открытого шара она лежит вне шара.
- Областью называют непустое открытое связное множество, а не любое связное множество.
- Замыкание \(\operatorname{cl} A\) и граница \(\partial A\) — разные множества.
