Если \(X\) конечномерно, то любое линейное отображение \(L:X\to Y\) в произвольное нормированное пространство \(Y\) автоматически непрерывно. Тем более это верно между двумя конечномерными нормированными пространствами. Для линейного отображения непрерывность эквивалентна непрерывности в нуле и существованию \(C\gt 0\) такого, что \(\lVert Lx\rVert \le C\lVert x\rVert \) для всех \(x\). Наименьшая такая константа называется нормой оператора. В координатах \(L\) задаётся
Что важно запомнить
- Для линейного \(L\) достаточно проверить непрерывность в нуле.
- Непрерывность эквивалентна глобальной оценке \(\lVert Lx\rVert \le C\lVert x\rVert \).
- В конечномерном пространстве всякое линейное отображение непрерывно.
- В выбранных базисах линейное отображение задаётся матрицей.
- На самом деле для автоматической непрерывности достаточно конечномерности области определения.
Линейное отображение и непрерывность
Пусть \(X\) и \(Y\) — нормированные пространства и \(L:X\to Y\) линейно. Для линейного отображения следующие условия эквивалентны:
\(L\) непрерывно на \(X\).
\(L\) непрерывно в точке \(0\).
Существует \(C\gt 0\) такое, что \(\lVert Lx\rVert \le C\lVert x\rVert \) для всех
Наименьшая возможная константа \(C\) называется нормой линейного оператора и обозначается \(\lVert L\rVert \).
Почему конечномерность даёт непрерывность
Пусть \(\dim X=n\) и \(e_{1},\ldots ,e_{n}\) — базис. Для \(x=\sum \xi _{k}e_{k}\) имеем
\[\lVert Lx\rVert \le \sum |\xi _{k}|\cdot \lVert Le_{k}\rVert \].
На конечномерном \(X\) координатная норма \(\sum |\xi _{k}|\) эквивалентна исходной норме. Поэтому найдётся \(C_{0}\gt 0\) такое, что \(\sum |\xi _{k}|\le C_{0}\lVert x\rVert \). Отсюда \(\lVert Lx\rVert \le C\lVert x\rVert \) для некоторого \(C\) и \(L\) непрерывно.
Следовательно, если оба пространства конечномерны, любое линейное отображение между ними непрерывно. Более того, конечномерности пространства \(X\) уже достаточно, даже если \(Y\) бесконечномерно.
Матричная запись
После выбора базисов всякое линейное отображение \(\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m}\) имеет вид \(L(x)=Ax\). Непрерывность матричного отображения является частным случаем общего
Пример простыми словами
Линейный функционал \(L:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}, L(x,y)=2x-y\), непрерывен. По неравенству Коши—Буняковского \(|2x-y|\le \sqrt{5}\cdot \sqrt{x^{2}+y^{2}}\), поэтому можно взять \(C=\sqrt{5}\).
Частые ошибки
- Автоматическая непрерывность линейного отображения требует конечномерности области определения. В бесконечномерном случае существуют разрывные линейные операторы.
- Для линейного отображения непрерывность в нуле уже эквивалентна непрерывности на всём пространстве.
- Без единой оценки \(\lVert Lx\rVert \le C\lVert x\rVert \) непрерывность линейного оператора не установлена.
- Представление конечной матрицей предполагает выбор базисов в конечномерных пространствах.
