Частная производная функции \(f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\) по переменной \(x_{k}\) в точке \(a\) определяется как обычная производная по одной переменной при фиксированных остальных координатах: \(\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(a)=\lim _{t\to 0}\frac{[f(a+te_{k})-f(a)]}{t}\). Это производная по координатному направлению \(e_{k}\). Если \(f\) дифференцируема, все частные производные существуют и входят в её
Что важно запомнить
- Частная производная — производная вдоль координатного направления.
- Остальные координаты при вычислении фиксируются.
- Если \(f\) дифференцируема, то \(df(a,h)=\sum (\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(a))h_{k}\).
- Вектор частных производных образует градиент \(\nabla f(a)\).
- Существование всех частных производных само по себе не гарантирует ни непрерывность, ни дифференцируемость.
Определение
Пусть \(f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\) определена в окрестности точки \(a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\). Частной производной по переменной \(x_{k}\) называется предел
\[\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(a)=\lim _{t\to 0}\frac{[f(a_{1},\ldots ,a_{k}+t,\ldots ,a_{n})-f(a)]}{t}\],
если он существует. Это обычная производная функции одной переменной, полученной после фиксации всех координат, кроме
Связь с производной по направлению
Если \(e_{k}\) — \(k\)-й координатный вектор, то
\[\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(a)=\frac{\partial f}{\partial e_{k}}(a)\].
То есть частные производные являются специальными производными по направлениям координатных осей.
Связь с дифференциалом
Если \(f\) дифференцируема в \(a\), то все её частные производные в \(a\) существуют и
\[df(a,h)=\sum _{k=1}^{n} (\frac{\partial f}{\partial x_{k}}(a))h_{k}=\langle \nabla f(a),h\rangle \].
Однако обратное утверждение без дополнительных условий неверно. Даже существование всех частных производных не гарантирует непрерывность функции.
Пример простыми словами
Положим \(f(0,0)=0\) и \(f(x,y)=\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})}\) при \((x,y)\ne (0,0)\). На обеих координатных осях \(f=0\), поэтому \(f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0\). Но вдоль \(y=x\) имеем \(f(x,x)=\frac{1}{2}\), поэтому функция не непрерывна в нуле и тем более не дифференцируема там.
Частые ошибки
- Существование всех частных производных само по себе не гарантирует дифференцируемость и даже непрерывность.
- В частной производной изменяется только одна координата. Остальные координаты фиксированы.
- Частная производная является производной по специальному координатному направлению \(e_{k}\), а не по произвольному вектору.
- Формула \(df(a,h)=\sum f_{x_{k}}(a)h_{k}\) требует дифференцируемости функции в точке.
