Дифференцируемость функций нескольких переменных: критерии и связь с непрерывностью

Функция \(f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\) дифференцируема в точке \(a\), если существует линейный функционал \(L\) такой, что \(f(a+h)=f(a)+L(h)+o(\lVert h\rVert )\) при \(h\to 0\). Такой \(L\) единственен и называется дифференциалом. Тогда \(f\) непрерывна в \(a\), все частные производные существуют и \(L(h)=\sum f_{x_{k}}(a)h_{k}\). Достаточное условие: все частные производные существуют в окрестности \(a\) и непрерывны в \(a\).1

Что важно запомнить
  • Дифференцируемость означает наличие единственного линейного главного члена.
  • Дифференцируемость влечёт непрерывность.
  • Дифференцируемость влечёт существование всех частных производных.
  • Существование частных производных само по себе не влечёт дифференцируемость.
  • Если частные производные существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке, функция дифференцируема там.

Определение дифференцируемости

Пусть \(f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\) определена в окрестности \(a\). Функция называется дифференцируемой в \(a\), если существует линейный функционал \(L:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\) такой, что

\(f(a+h)-f(a)=L(h)+r(h)\), \(\frac{r(h)}{\lVert h\rVert }\to 0\) при \(h\to 0\).

В конечномерном \(\mathbb{R}^{n}\) линейный функционал автоматически непрерывен. Линейная часть \(L\) определяется единственным образом и называется дифференциалом функции в точке \(a\). Эквивалентный критерий имеет вид

\[\lim _{h\to 0}\frac{|f(a+h)-f(a)-L(h)|}{\lVert h\rVert }=0\].1

Связь с непрерывностью и частными производными

Дифференцируемость влечёт непрерывность в точке. Кроме того, все производные по направлениям, в частности частные производные, существуют и задаются дифференциалом. Для скалярной функции

\[df(a,h)=\sum _{k=1}^{n} f_{x_{k}}(a)h_{k}\].

Обратное утверждение неверно: существование всех частных или даже всех производных по направлениям не гарантирует дифференцируемость.

Практическое достаточное условие

Если все частные производные \(f\) существуют в некоторой окрестности точки \(a\) и непрерывны в \(a\), то \(f\) дифференцируема в \(a\).1

Это условие является достаточным, но не необходимым. Дифференцируемость в одной точке не требует непрерывности частных производных в её окрестности.

Векторнозначный случай

Для \(f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m}\) определение сохраняется с линейным отображением \(L:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m}\). Если \(f\) дифференцируема, матрица этого отображения в стандартных базисах является матрицей Якоби и состоит из частных производных компонент функции.

Пример простыми словами

Для \(f(x,y)=x^{2}+y^{2}\) в точке \(a=(a,b)\) имеем \(f(a+h)-f(a)=2a h_{1}+2b h_{2}+h_{1}^{2}+h_{2}^{2}\). Линейная часть \(L(h)=2a h_{1}+2b h_{2}\), а остаток имеет порядок \(O(\lVert h\rVert ^{2})=o(\lVert h\rVert )\). Поэтому \(f\) дифференцируема в каждой точке.

Частые ошибки
  • Наличие всех частных производных в точке не эквивалентно дифференцируемости.
  • В определении дифференцируемости остаток сравнивают с нормой полного приращения \(\lVert h\rVert \), а не с отдельной координатой.
  • Дифференцируемость автоматически влечёт непрерывность в той же точке.
  • В используемом достаточном критерии частные производные должны существовать в окрестности точки и быть непрерывными в самой точке.
  • Непрерывность частных производных является достаточным, но не необходимым условием дифференцируемости.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Второй семестр. Мехмат МГУ, 2018 г. Раздел «Дифференцируемые функции»: определение через линейное непрерывное отображение и остаток o(||h||), Предложение 26 «дифференцируемость влечёт непрерывность», Теорема 20 о достаточном условии через непрерывные частные производные.