Если \(f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\) дифференцируема в точке \(a\), то её дифференциал задаёт касательную гиперплоскость к графику в смысле линейного приближения: \(z-f(a)=df(a,x-a)=\langle \nabla f(a),x-a\rangle \). Для \(f(x,y)\) получаем \(z-f(x_{0},y_{0})=f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})\). Нормаль в базовой точке можно взять
Что важно запомнить
- Касательная плоскость в смысле линейного приближения задаётся дифференциалом функции.
- Для \(z=f(x,y)\) её коэффициенты — частные производные в базовой точке.
- Нормаль в точке \((x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))\) можно взять \((-f_{x}(x_{0},y_{0}),-f_{y}(x_{0},y_{0}),1)\).
- Дифференцируемость означает линейное приближение с остатком \(o(\lVert h\rVert )\).
- Одного существования частных производных для такого линейного приближения недостаточно.
График функции и линейное приближение
Пусть \(f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\) дифференцируема в точке \(a\). Тогда
\[f(a+h)=f(a)+df(a,h)+o(\lVert h\rVert )\].
Аффинная гиперплоскость
\[z-f(a)=df(a,x-a)=\langle \nabla f(a),x-a\rangle \]
является касательной к графику в смысле этого линейного приближения. Отклонение высоты графика от высоты гиперплоскости имеет порядок
Функция двух переменных
Если \(z=f(x,y)\) и \(a=(x_{0},y_{0})\), то касательная плоскость имеет вид
\[z-f(x_{0},y_{0})=f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})\].
Рассматривая график как поверхность уровня \(F(x,y,z)=z-f(x,y)=0\), в базовой точке получаем нормальный вектор
\[\nabla F(x_{0},y_{0},f(x_{0},y_{0}))=(-f_{x}(x_{0},y_{0}),-f_{y}(x_{0},y_{0}),1)\].
Если \(f\) непрерывно дифференцируема в окрестности точки, эта плоскость совпадает со стандартной геометрической касательной плоскостью к гладкому
Связь с дифференцируемостью
Дифференцируемость гарантирует единое линейное приближение графика по всем направлениям одновременно. Существование только частных производных такого вывода не даёт. Именно поэтому формулу касательной плоскости нельзя обосновывать одним фактом существования \(f_{x}\) и \(f_{y}\).
Пример простыми словами
Для \(f(x,y)=x^{2}+y^{2}\) в точке \((1,1)\) имеем \(f(1,1)=2, f_{x}(1,1)=2\) и \(f_{y}(1,1)=2\). Поэтому касательная плоскость к графику \(z=x^{2}+y^{2}\) имеет уравнение \(z-2=2(x-1)+2(y-1)\). Нормаль можно взять \((-2,-2,1)\).
Частые ошибки
- Коэффициенты касательной плоскости вычисляются по частным производным именно в базовой точке.
- В уравнении графика нельзя терять слагаемое \(z-f(x_{0},y_{0})\).
- Противоположный знак нормального вектора не является ошибкой: нормаль определена с точностью до ненулевого множителя.
- Существование одних частных производных не гарантирует касательную плоскость в смысле единого линейного приближения.
- Касательная плоскость к графику \(z=f(x,y)\) и касательная к линии уровня \(f(x,y)=\operatorname{const}\) — разные геометрические объекты.
