Дифференцируемость сложных отображений. Матрица Якоби и правило цепочки

Пусть \(g:Z\to X\) дифференцируемо в точке \(a\), а \(f:X\to Y\) дифференцируемо в точке \(g(a)\). Тогда композиция \(f\circ g\) дифференцируема в \(a\) и \(d(f\circ g)(a)=df(g(a))\circ dg(a)\). В координатах это правило превращается в произведение матриц Якоби: \(J_{f\circ g}(a)=J_{f}(g(a))J_{g}(a)\).1

Что важно запомнить
  • Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов.
  • Матрица Якоби является матрицей дифференциала в стандартных базисах.
  • В произведении \(J_{f}(g(a))J_{g}(a)\) порядок множителей менять нельзя.
  • Производные внешнего отображения вычисляются в точке \(g(a)\), а не в точке \(a\).

Правило цепочки

Пусть \(g:Z\to X\) дифференцируемо в точке \(a\), а \(f:X\to Y\) дифференцируемо в точке \(g(a)\). Тогда композиция \(f\circ g\) дифференцируема в \(a\) и

\[d(f\circ g)(a)=df(g(a))\circ dg(a)\].1

Смысл формулы прост. Сначала малое приращение аргумента преобразуется линейной частью \(dg(a)\), затем полученное приращение преобразуется линейной частью \(df(g(a))\).

Матрица Якоби

Для отображения \(F:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m}\) матрица дифференциала в стандартных базисах называется матрицей Якоби \(J_{F}\). Если \(g:\mathbb{R}^{p}\to \mathbb{R}^{n}\) и \(f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m}\), то

\[J_{f\circ g}(a)=J_{f}(g(a))J_{g}(a)\].

Размеры матриц согласованы следующим образом. \(J_{g}\) имеет размер \(n\times p, J_{f}\) имеет размер \(m\times n\), поэтому их произведение имеет размер \(m\times p\).

Координатная запись

Если \(f=(f_{1},\ldots ,f_{m}), g=(g_{1},\ldots ,g_{n})\), то для каждой компоненты композиции

\[\frac{\partial (f_{i}\circ g)}{\partial x_{j}}(a)=\sum _{k=1}^{n} [\frac{\partial f_{i}}{\partial y_{k}}(g(a))]\cdot [\frac{\partial g_{k}}{\partial x_{j}}(a)]\].

Это многомерный аналог обычной формулы производной сложной функции.1

Пример простыми словами

Пусть \(f(u,v)=u^{2}+v\) и \(g(x,y)=(xy,x+y)\). В точке \((1,1)\) имеем \(g(1,1)=(1,2), J_{f}(1,2)=(2,1)\), а \(J_{g}(1,1)=((1,1),(1,1))\). Поэтому \(J_{f\circ g}(1,1)=(3,3)\).

Частые ошибки
  • В правиле цепочки порядок матриц существенен: \(J_{f}(g(a))\) умножается на \(J_{g}(a)\), а не наоборот.
  • Производные внешнего отображения вычисляются в точке \(g(a)\).
  • Размеры матриц Якоби должны быть согласованы для умножения.
  • Многомерное правило цепочки не является покомпонентным произведением производных.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Второй семестр. Мехмат МГУ, 2018 г. Раздел «Правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции», теорема 22 и матричная запись правила цепочки.