Производная функции \(f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}\) по вектору \(v\) в точке \(a\) определяется пределом \(\partial _{v} f(a)=\lim _{t\to 0}\frac{[f(a+tv)-f(a)]}{t}\). Если \(f\) дифференцируема в \(a\), то \(\partial _{v} f(a)=df(a,v)=\langle \nabla f(a),v\rangle \). Для единичного \(v\) выполняется \(|\partial _{v} f(a)|\le \lVert \nabla f(a)\rVert \). Если \(\nabla f(a)\ne 0\), наибольшее значение \(\lVert \nabla f(a)\rVert \) достигается при
Что важно запомнить
- Производная по направлению рассматривает изменение функции вдоль прямой \(a+tv\).
- Для дифференцируемой функции \(\partial _{v} f(a)=\langle \nabla f(a),v\rangle \).
- Если \(\nabla f(a)\ne 0\), нормированный градиент задаёт направление наибольшего локального возрастания функции.
- Если \(\lVert v\rVert =1\), то \(|\partial _{v} f(a)|\le \lVert \nabla f(a)\rVert \).
- Существование производных по всем направлениям само по себе не гарантирует дифференцируемость.
Производная по направлению
Пусть \(f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}, a\in \mathbb{R}^{n}\) и \(v\in \mathbb{R}^{n}\). Производной по вектору \(v\) называется предел
\[\partial _{v} f(a)=\lim _{t\to 0}\frac{[f(a+tv)-f(a)]}{t}\],
если он существует. Вектор \(v\) не обязан быть единичным. При замене \(v\) на \(\lambda v\) производная, когда применима линейная формула дифференциала, умножается на \(\lambda \).
Градиент
Если \(f\) дифференцируема в \(a\), то
\[\nabla f(a)=(f_{x_{1}}(a),\ldots ,f_{x_{n}}(a))\]
и для любого \(v\) выполняется
По неравенству Коши—Буняковского для единичного \(v\) получаем \(|\partial _{v} f(a)|\le \lVert \nabla f(a)\rVert \). Если \(\nabla f(a)\ne 0\), максимальное значение достигается при \(v=\frac{\nabla f(a)}{\lVert \nabla f(a)\rVert }\), а минимальное при противоположном единичном
Что означает направление градиента
Если \(\nabla f(a)\ne 0\), нормированный градиент задаёт направление наиболее быстрого локального роста функции. В регулярной точке поверхности уровня \(f(x)=\operatorname{const}\) градиент является нормалью к этой поверхности. Если \(\nabla f(a)=0\), то у дифференцируемой функции все производные по направлениям в точке \(a\) равны нулю.
Пример простыми словами
Для \(f(x,y)=x^{2}+3y^{2}\) в точке \((1,1)\) градиент равен \((2,6)\). В направлении единичного вектора \(v=(\frac{3}{5},\frac{4}{5})\) производная равна \(\langle (2,6),(\frac{3}{5},\frac{4}{5})\rangle =6\).
Частые ошибки
- В принятом определении производная по вектору допускает произвольный \(v\). Единичность нужна, когда сравнивают направления роста.
- Существование производных по всем направлениям не гарантирует дифференцируемость функции.
- Для единичного направления максимального роста используют нормированный градиент \(\frac{\nabla f}{\lVert \nabla f\rVert }\), если \(\nabla f\ne 0\).
- Градиент и производная по направлению должны вычисляться в одной и той же точке.
