Частные производные высших порядков получают повторным дифференцированием. При достаточной гладкости смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования. Теорема Шварца требует существования смешанных производных в окрестности точки и их непрерывности в самой точке. Теорема Юнга даёт равенство смешанных производных при дифференцируемости \(f\) в окрестности и дифференцируемости \(f_{x}\) и \(f_{y}\) в рассматриваемой
Что важно запомнить
- Производная порядка \(m\) получается \(m\) последовательными дифференцированиями.
- Для \(f\in C^{m}\) порядок дифференцирования в смешанной производной можно переставлять.
- Шварц и Юнг дают одно равенство при разных наборах условий.
- Одного существования \(f_{xy}(a)\) и \(f_{yx}(a)\) недостаточно для вывода об их равенстве.
Производные высших порядков
Если частная производная \(f_{x_{i}}\) сама имеет частные производные, возникают производные второго порядка \(f_{x_{i} x_{j}}\). Повторяя процесс, получают производные порядка \(m\)
\[\frac{\partial^{m}f}{\partial x_{i_{1}}\cdots\partial x_{i_{m}}}\].
Если \(f\) принадлежит классу \(C^{m}\) в окрестности точки, все частные производные до порядка \(m\) непрерывны и порядок дифференцирования в смешанных производных не влияет на результат.
Теорема Шварца
Для функции двух переменных достаточно следующего условия. Пусть смешанные производные \(f_{xy}\) и \(f_{yx}\) существуют в некоторой окрестности точки \(a\) и непрерывны в \(a\). Тогда
Теорема Юнга
Другая формулировка использует дифференцируемость. Если \(f\) дифференцируема в окрестности \(a\), а функции \(f_{x}\) и \(f_{y}\) дифференцируемы в самой точке \(a\), то
Теоремы Шварца и Юнга не следует смешивать. Они дают одинаковый вывод, но предъявляют разные требования к функции.
Высшие дифференциалы
При достаточной гладкости дифференциал порядка \(m\) является симметричной \(m\)-линейной формой. Симметрия отражает возможность переставлять порядок смешанного дифференцирования.
Пример простыми словами
Для \(f(x,y)=x^{2}y+xy^{2}\) имеем \(f_{xy}=2x+2y\) и \(f_{yx}=2x+2y\). Функция является многочленом, поэтому все её производные непрерывны и равенство смешанных производных выполняется во всех точках.
Частые ошибки
- Само существование \(f_{xy}(a)\) и \(f_{yx}(a)\) в одной точке не гарантирует их равенство.
- Теоремы Шварца и Юнга дают одинаковый вывод при разных наборах достаточных условий.
- Порядок производной определяется числом последовательных дифференцирований, а не числом различных переменных.
- Перестановка порядка смешанного дифференцирования требует соответствующих условий гладкости.
