Дифференциал порядка \(m\) функции \(f\) в точке \(a\) является \(m\)-линейной формой \(d^{m} f(a)\). На одном приращении \(h\) пишут \(d^{m} f(a,h)=d^{m} f(a)(h,\ldots ,h)\). Формула Тейлора выражает \(f(a+h)\) через последовательные дифференциалы. При \((m+1)\)-кратной дифференцируемости в шаре остаток можно записать в форме Лагранжа через \(d^{m+1}f(a+\theta h,h)\), где
Что важно запомнить
- \(d^{m} f\) является многолинейным объектом, а не обычной степенью \(df\).
- В формуле Тейлора перед \(d^{k} f\) стоит коэффициент \(\frac{1}{k!}\).
- Для второго порядка \(d^{2}f(a,h)=h^{T} H_{f}(a)h\).
- Остаточный член зависит от условий гладкости и выбранной формы формулы Тейлора.
- Формула Пеано удобна для локального анализа экстремума.
Дифференциалы высших порядков
Если \(f\) достаточно гладкая, её второй дифференциал \(d^{2}f(a)\) является билинейной формой, третий дифференциал является трёхлинейной формой и далее. Для одного и того же приращения \(h\) используют сокращение
\[d^{m} f(a,h)=d^{m} f(a)(h,\ldots ,h)\].
В частности, для скалярной функции
\[d^{2}f(a,h)=\sum _{i,j=1}^{n} f_{x_{i} x_{j}}(a)h_{i} h_{j}=h^{T} H_{f}(a)h\],
где \(H_{f}(a)\) является матрицей Гессе.
Формула Тейлора с остатком Лагранжа
Пусть \(f\) дифференцируема \(m+1\) раз в открытом шаре \(B_{r}(a)\). Тогда для \(\lVert h\rVert \lt r\) существует \(\theta \in (0,1)\), для которого
Формула получается применением одномерной формулы Тейлора к функции \(\varphi (t)=f(a+th)\).
Форма Пеано
Если \(f\in C^{m}\) в некоторой окрестности \(a\), то локально
\[f(a+h)=f(a)+df(a,h)+\ldots +\frac{d^{m} f(a,h)}{m!}+o(\lVert h\rVert ^{m})\].
Для исследования экстремума особенно важен случай второго порядка
\(f(a+h)=f(a)+df(a,h)+\)½\(d^{2}f(a,h)+o(\lVert h\rVert ^{2})\).
Пример простыми словами
Для \(f(x,y)=e^{x+y}\) около \((0,0)\) получаем \(f(x,y)=1+(x+y)+\)½\((x+y)^{2}+o(x^{2}+y^{2})\). Здесь первый дифференциал равен \(x+y\), а второй на приращении \((x,y)\) равен \((x+y)^{2}\).
Частые ошибки
- В формуле Тейлора перед \(d^{k} f\) стоит коэффициент \(\frac{1}{k!}\).
- Второй дифференциал \(d^{2}f\) является билинейной формой и не равен квадрату первого дифференциала.
- В остатке Лагранжа производная вычисляется в промежуточной точке \(a+\theta h\), а не обязательно в \(a\).
- Форму Пеано применяют только при условиях гладкости, обеспечивающих соответствующий остаток \(o(\lVert h\rVert ^{m})\).
