Если дифференцируемая функция имеет локальный экстремум во внутренней точке \(a\), то \(df(a)=0\), то есть \(\nabla f(a)=0\). Для критической точки дважды дифференцируемой функции знак квадратичной формы \(d^{2}f(a,h)\) даёт стандартный достаточный критерий. Положительная определённость означает строгий минимум, отрицательная определённость означает строгий максимум, а неопределённость исключает
Что важно запомнить
- У внутреннего дифференцируемого локального экстремума градиент равен нулю.
- Условие \(\nabla f=0\) является необходимым, но не достаточным.
- Положительно определённый гессиан даёт строгий локальный минимум.
- Отрицательно определённый гессиан даёт строгий локальный максимум.
- В критической точке неопределённый гессиан означает седловую точку.
- Полуопределённый или вырожденный гессиан обычно не даёт окончательного ответа.
Локальный экстремум и необходимое условие
Точка \(a\) называется точкой локального минимума, если \(f(x)\ge f(a)\) во всех достаточно близких к \(a\) точках. Для локального максимума неравенство меняется на противоположное.
Если \(a\) является внутренней точкой области определения, \(f\) дифференцируема в \(a\) и в \(a\) достигается локальный экстремум, то
\(df(a)=0\), то есть
Такие точки называют критическими. Само равенство градиента нулю ещё не доказывает наличие экстремума.
Достаточное условие второго порядка
Пусть \(f\) дважды дифференцируема в окрестности \(a\), вторые частные производные непрерывны в \(a\) и \(df(a)=0\). Тогда знак квадратичной формы
\[Q(h)=d^{2}f(a,h)=h^{T} H_{f}(a)h\]
определяет поведение функции. Если \(Q(h)\gt 0\) для всех \(h\ne 0\), точка \(a\) является строгим локальным минимумом. Если \(Q(h)\lt 0\) для всех \(h\ne 0\), получаем строгий локальный максимум. Если существуют направления \(u\) и \(v\) с \(Q(u)\gt 0\) и \(Q(v)\lt 0\), локального экстремума
Критерий для двух переменных
Для \(H=((f_{xx},f_{xy}),(f_{yx},f_{yy}))\) положим \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}\) в критической точке. Если \(D\gt 0\) и \(f_{xx}\gt 0\), имеется строгий минимум. Если \(D\gt 0\) и \(f_{xx}\lt 0\), имеется строгий максимум. Если \(D\lt 0\), точка седловая. Случай \(D=0\) этим тестом не решается.
Пример простыми словами
У функции \(f(x,y)=x^{2}-y^{2}\) точка \((0,0)\) критическая. Второй дифференциал равен \(2h_{1}^{2}-2h_{2}^{2}\) и принимает значения разных знаков. Поэтому \((0,0)\) является седловой точкой, а не экстремумом.
Частые ошибки
- Равенство \(\nabla f(a)=0\) является необходимым условием внутреннего дифференцируемого экстремума, но не доказывает экстремум.
- Для граничной точки нельзя механически применять условие внутреннего экстремума \(\nabla f=0\).
- Полуопределённый или вырожденный гессиан обычно не позволяет завершить классификацию без дополнительного анализа.
- Проверка квадратичной формы только на координатных осях не определяет её знак во всех направлениях.
