Карта предпочтений
Пусть x и y обозначают количества двух благ, а U(x, y) представляет предпочтения одного потребителя. Кривая безразличия задаётся условием U(x, y) = u, где u — фиксированный уровень полезности. Для её построения достаточно знать, какие наборы равноценны. В ординалистском подходе числовая шкала нужна для упорядочения наборов, а не для измерения удовольствия в физических единицах.1
Несколько таких кривых образуют карту безразличия. Если увеличение количества каждого блага при прочих равных желательно, набор с большим количеством обоих благ предпочтительнее. Чтобы остаться на прежнем уровне, увеличение x приходится компенсировать уменьшением y. Поэтому при этих условиях кривая имеет отрицательный наклон.2
Кривые разных уровней полезности не пересекаются. Иначе один и тот же набор в точке пересечения имел бы два разных значения одной функции U. Это следует из определения функции. Непересечение не требует параллельности кривых: их наклон может меняться от точки к точке.
Что измеряет предельная норма замещения
Зафиксируем направление обмена: потребитель получает больше x и отдаёт часть y. Для положительной нормы замещения используем запись MRSxy = −dy / dx вдоль кривой безразличия. Сам наклон dy / dx отрицателен, а минус перед ним показывает величину уступки. При другом соглашении MRS могут записывать со знаком наклона, поэтому обозначение и направление обмена нужно уточнять.1, 2
Для дифференцируемой функции U связь с предельными полезностями можно получить из постоянства её значения вдоль кривой безразличия. Обозначим частные производные через MUx и MUy. Каждая показывает локальную скорость изменения полезности при изменении количества одного блага и неизменном количестве другого. Тогда:
dU = MUx dx + MUy dy = 0.
При положительных MUx и MUy после переноса и деления получаем MRSxy = MUx / MUy. Отношение измеряется в единицах y на единицу x. Оно показывает, какая потеря y уравновешивает небольшой выигрыш от x.
Для двух отдельных наборов на одной кривой отношение −Δy / Δx при Δx > 0 характеризует среднюю уступку на участке. У изогнутой кривой она может отличаться от MRS в начальной точке. Предельная величина относится к касательной, средняя — к прямой, соединяющей две точки.
Отношение рыночных цен px / py задаёт условия, на которых товары можно обменять через покупки. MRS задаёт готовность потребителя к замещению. Их сопоставляют при анализе выбора, но сама кривая безразличия не содержит бюджетного ограничения.1
Форма кривой и характер замещения
В модели с предпочтением разнообразия редкое в наборе благо особенно ценно относительно того, которого уже много. При движении вправо x становится больше, y меньше, и потребитель готов отдавать всё меньше y за дополнительный x. Гладкая кривая выпукла к началу координат, а её положительная MRS не возрастает. Это свойство соответствующих предпочтений, а не следствие одного лишь определения безразличия.2
Совершенные, или абсолютные, субституты заменяют друг друга в постоянной пропорции. Кривые безразличия имеют вид прямых с постоянной MRS. Например, для условной функции U = ax + by при положительных a и b из формулы выше следует MRS = a / b.1
Совершенные комплементы полезны в заданном сочетании. В простейшем случае U = min(x, y) ценность определяется меньшим количеством. Увеличение только избыточного компонента не улучшает набор. Поэтому кривая имеет Г-образную форму. В точке излома единственного наклона нет, и формула через гладкую касательную неприменима.1
Возможны и предпочтения с точкой насыщения, то есть наиболее желательным набором. После её достижения увеличение количества благ может ухудшать оценку. В такой модели нельзя использовать предпосылку «больше всегда лучше»: форму и порядок кривых определяют по самой функции предпочтений.1