Время превращается в бюджет потребления
Обозначим доступный для распределения положительный запас времени через T, рабочие часы через L, досуг через Le. Тогда L + Le = T. Пусть w > 0 — оплата часа, а V ≥ 0 — доход, не зависящий от работы. Потребление C измерим суммой расходов при неизменных ценах. При полном расходовании дохода:
C = wL + V = w(T − Le) + V.
Следовательно, C + wLe = wT + V. Так записывается бюджет выбора между потреблением и досугом. Если рассматриваются сутки, можно положить T = 24 часа. Обозначение T позволяет применять ту же логику к другому явно заданному периоду.1
Величина wT + V называется полным доходом в этой постановке. Она включает потенциальный заработок при использовании всего T для работы. За дополнительный час досуга человек отказывается от w денежных единиц потребления. В модели предполагается возможность выбирать продолжительность работы и отсутствие налогов или иных правил, меняющих эту простую зависимость.1
Как из предпочтений получают рабочие часы
Человек выбирает максимум U(C, Le) при бюджетном ограничении и 0 ≤ Le ≤ T. Кривые безразличия показывают равноценные сочетания потребления и досуга. При внутреннем гладком решении и положительных предельных полезностях выполняется MULe / MUC = w. В числителе стоит предельная полезность досуга, в знаменателе — предельная полезность потребления. Отношение показывает денежную оценку небольшого увеличения досуга в расчёте на час. В оптимуме она совпадает с упущенным заработком w.1, 2
Для функции U = C Le подстановка бюджета даёт U = (wT + V)Le − wLe². Это парабола с ветвями вниз. Её вершина:
Le* = T / 2 + V / (2w), поэтому L* = T / 2 − V / (2w).
Внутреннее решение возможно только при V < wT. Если V ≥ wT, вершина лежит на границе допустимого времени или за ней. На отрезке 0 ≤ Le ≤ T максимум тогда достигается при Le = T, то есть при нулевой работе. Полное решение этой конкретной модели имеет вид:
L* = max{0, T / 2 − V / (2w)}.
При V = 0 оптимальный труд равен T / 2 при любой положительной ставке. При V > 0 на внутреннем участке он растёт с w. Поэтому именно эта функция не порождает обратного изгиба, хотя и описывает выбор труда и досуга.1
Почему рост ставки может сокращать предложение
Для других предпочтений итог может быть иным. Эффект замещения отражает рост относительной цены досуга: при прежнем уровне полезности человек выбирает меньше отдыха и больше работы. Эффект дохода отражает расширение возможностей благодаря более высокой ставке. Если досуг является нормальным благом, это воздействие увеличивает желаемое время отдыха.2
При преобладании замещения рабочие часы увеличиваются. При равенстве воздействий они не меняются. Если сильнее эффект дохода, человек работает меньше при более высокой ставке. На графике, где по горизонтали рабочие часы, а по вертикали ставка, появляется загибающийся назад участок. Оба эффекта описывают одно изменение условий, а не обязательные последовательные этапы поведения.1, 2
Рыночное предложение получают сложением часов разных людей при каждой ставке.1 На результат влияют как изменение часов уже работающих, так и выход новых участников. Из формы кривой одного человека нельзя непосредственно вывести форму рыночной кривой. Кроме того, желаемое число часов не гарантирует возможности найти работу на таких условиях.