Средний и предельный продукт труда

Два разных вопроса к одному производству

Пусть выпуск за смену задан Q = f(L, K), где L измеряется человеко-часами, а капитал K зафиксирован. Средний продукт Q / L отвечает на вопрос, сколько изделий приходится на один использованный человеко-час. Он не показывает, сколько добавит ещё один час. Для этого нужен предельный продукт.¹

В дискретном расчёте MP_L(L) = Q(L) − Q(L − 1) относится именно к L-й единице труда. Например, сравнение выпуска при 6 и 5 человеко-часах даёт продукт шестого часа. Если труд изменился сразу на несколько единиц, отношение ΔQ / ΔL показывает среднюю прибавку выпуска на единицу на всём выбранном участке. В каждой отдельной точке эта прибавка может быть другой.¹

Для делимых величин и дифференцируемой функции используется MP_L = ∂f(L, K) / ∂L. Частная производная означает локальную скорость изменения выпуска по труду при фиксированном K. Если одновременно установить новый станок, изменение Q уже нельзя целиком отнести к добавленному труду.¹

Почему дополнительный труд даёт разную прибавку

На начальном участке дополнительный работник может позволить разделить операции и лучше использовать оборудование. Поэтому предельный продукт иногда сначала растёт. Затем при ограниченных помещениях и машинах участникам приходится делить всё те же мощности, и прибавка от очередной единицы труда становится меньше. Именно такое уменьшение при фиксированных прочих ресурсах описывает закон убывающего предельного продукта.²

Это не утверждение о падении квалификации очередного работника. Причина рассматривается в соотношении труда и остальных факторов. Новый человек может быть столь же умелым, но получать меньше времени за единственным станком. Если расширяются и оборудование, и труд, условия этого сравнения уже изменились.

В дискретном расчёте знак MP_L показывает, как изменился выпуск после добавления одной целой единицы труда. При MP_L > 0 выпуск увеличился, при MP_L = 0 остался прежним. Отрицательный MP означает, что её использование уменьшает общий выпуск в рассматриваемой организации производства. Например, работа может ухудшаться из-за чрезмерной тесноты. Достижение отрицательных значений возможно, но не следует неизбежно из одного факта убывания MP.^{1, 2}

В непрерывной модели MP равен производной. Его нулевое значение означает горизонтальную касательную к графику Q в данной точке, но само по себе не определяет прирост при увеличении L на целую единицу.¹

Связь среднего продукта с предельным

При L > 0 и дифференцируемой функции из правила производной частного получаем:

dAP_L / dL = (MP_L × L − Q) / L² = (MP_L − AP_L) / L. ¹

Знаменатель положителен. Поэтому средняя производительность повышается, когда предельная выше средней, и понижается при обратном соотношении. В гладкой внутренней точке максимума AP необходимо равенство MP = AP. Чтобы установить именно максимум, проверяют смену роста на снижение, а не только равенство двух чисел.

На графике общего продукта с L по горизонтали и Q по вертикали AP соответствует наклону прямой из начала координат в выбранную точку. MP соответствует наклону касательной. При равенстве показателей эти наклоны совпадают. В гладком внутреннем максимуме самого Q предельный продукт MP равен нулю, поскольку это производная Q по L. Следовательно, максимум общего и максимум среднего продукта решают разные задачи.¹

Для таблицы с целыми единицами действует обычная логика среднего. Если очередная единица даёт столько же, сколько приходилось на единицу прежде, среднее сохраняется. Прибавка выше прежнего среднего повышает его, ниже — понижает. Формулу непрерывной производной к такой таблице без дополнительных предпосылок не применяют.