Средние и предельные издержки фирмы

Как разделить общие затраты на единицы продукции

Пусть TC(Q) — затраты на производство Q единиц за определённый период. Для положительного выпуска средние общие издержки равны TC / Q. Если известны постоянная и переменная части TC = FC + VC, деление на Q даёт:

AC = FC / Q + VC(Q) / Q = AFC + AVC. ¹

AC также обозначают ATC. При FC > 0 показатель AFC убывает с ростом Q: одна и та же сумма распределяется на большее число единиц. Расстояние между AC и AVC при любом данном Q равно AFC. При Q = 0 средние издержки по этим формулам не определены, хотя общие издержки могут быть известны.^{1, 2}

Общие затраты измеряются в денежных единицах за рассматриваемый выпуск, а средние — в денежных единицах на единицу продукции. Например, рубли и рубли за изделие нельзя считать одним показателем только потому, что обе величины описывают расходы.²

Как рассчитать дополнительные затраты

Для целого выпуска стоимость Q-й единицы в предельном смысле получается сравнением общих затрат на Q и Q − 1 единиц:

MC(Q) = TC(Q) − TC(Q − 1). ¹

Если выпуск изменился сразу на несколько единиц, отношение ΔTC / ΔQ даёт средние дополнительные затраты на единицу на этом участке. Оно не обязано совпадать с затратами на каждую из добавленных единиц. Для делимого выпуска и дифференцируемой функции переход к бесконечно малому изменению даёт MC(Q) = dTC(Q) / dQ.¹

При TC(Q) = FC + VC(Q) постоянная величина FC сокращается в разности, а её производная равна нулю. Поэтому MC определяется изменением переменных затрат. Это вывод внутри модели с тем же запасом фиксированных ресурсов. Установка дополнительной мощности уже требует заново определить соответствующую функцию затрат.

Связь с производительностью

Пусть труд является единственным переменным ресурсом, капитал зафиксирован, а цена часа w постоянна. Обозначим необходимое для выпуска Q количество человеко-часов через L(Q). Тогда VC(Q) = wL(Q). Если производственная функция дифференцируема и MP_L = dQ / dL > 0, по правилу производной получаем:

MC = w × dL / dQ = w / MP_L.

Когда дополнительный час даёт меньше продукции, для ещё одной единицы выпуска требуется больше оплачиваемого труда. При указанных условиях MC растёт. Если одновременно меняются ставка оплаты или другие ресурсы, одной динамики MP_L уже недостаточно.^{1, 2}

Почему предельные издержки связаны с минимумом средних

Для положительного Q продифференцируем AC = TC / Q:

dAC / dQ = (MC × Q − TC) / Q² = (MC − AC) / Q. ¹

При MC < AC производная отрицательна, поэтому средние издержки снижаются. При MC > AC они растут. В гладком внутреннем минимуме AC производная равна нулю, откуда MC = AC. Чтобы установить именно минимум, нужно также проверить переход от снижения к росту.

Аналогично, при неизменном FC и дифференцируемом VC получаем dAVC / dQ = (MC − AVC) / Q. Поэтому в гладком внутреннем минимуме AVC выполняется MC = AVC. Эти соотношения объясняют пересечения стандартных кривых; они не требуют, чтобы любая допустимая функция обязательно имела такой минимум.^{1, 2}

На графике общих затрат с Q по горизонтали и TC по вертикали AC соответствует наклону прямой из начала координат к выбранной точке. MC соответствует наклону касательной. На отдельном графике удельных издержек по вертикали откладывают уже денежные единицы на единицу продукции и сравнивают значения AC, AVC и MC. Эти геометрические интерпретации следуют из отношения TC / Q и производной TC.

У средних издержек часто рассматривают U-образный профиль: сначала распределение постоянных затрат снижает AC, затем быстро растущая переменная часть повышает его. Но форму конкретной кривой устанавливают по её функции и условиям производства. Минимум AC сам по себе также не определяет наиболее прибыльный выпуск — для этого необходима информация о выручке.²