Равновесие Нэша в статических играх

Равновесие Нэша в статической игре — такой набор стратегий, при котором ни одному игроку не выгодно менять свою стратегию в одиночку, если остальные сохраняют свои. Каждый участник выбирает наилучший ответ на фактически выбранные стратегии других. Речь идёт об отсутствии выгодного одностороннего отклонения, а не о лучшем для всех исходе.¹

В игре может быть несколько равновесий. Равновесия в чистых стратегиях иногда нет; тогда рассматривают также смешанные стратегии, задающие вероятности выбора действий. Проверка равновесия относится ко всему набору стратегий участников.²

Что важно запомнить

При проверке отклонения меняют решение только одного игрока.
Сравнивают его собственные выигрыши, а не суммы выплат участников.
Равные по выгоде альтернативы допустимы: равновесие исключает строгое улучшение.
Найденные равновесия записывают как сочетания стратегий, дополнительно указывая выигрыши.

Наилучший ответ при заданном выборе соперника

В статической игре участники выбирают, не наблюдая текущих решений друг друга. Модель задаёт возможные стратегии и выигрыши при каждом их сочетании. После этого проверяют, совместимы ли выбранные стратегии как наилучшие ответы.¹

Для двух игроков обозначим стратегии A и B через a и b, а выигрыш A через u_A(a, b). В равновесии (a*, b*) должно выполняться u_A(a*, b*) ≥ u_A(a, b*) при любой доступной альтернативе a. Аналогичное условие нужно для B. В первом неравенстве b* остаётся неизменным: именно это делает отклонение односторонним.²

Поиск в матрице выигрышей

Пусть строки задают стратегии A, столбцы — стратегии B. В каждой ячейке первым записан выигрыш A, вторым — B.

В каждом столбце найти наибольшие выигрыши игрока A. Это его наилучшие ответы на соответствующую стратегию B.
В каждой строке найти наибольшие выигрыши B. Это его ответы на стратегию A.
Выбрать ячейки, где одновременно отмечены выигрыши обоих. Они задают все равновесия в чистых стратегиях.

Если максимальные значения равны, отмечают каждое. Ни один игрок не обязан предпочитать текущую стратегию строго всем альтернативам.^{1, 2}

Пример координации

Две организации выбирают формат совместного мероприятия: очный или дистанционный. Совпадение форматов необходимо для участия обеих. Условные выигрыши уже учитывают все выгоды и расходы, большее число лучше. Первым указан выигрыш A, вторым — B.

A / B	Очно	Дистанционно
Очно	(4; 3)	(0; 0)
Дистанционно	(0; 0)	(2; 5)

Если B выбирает очный формат, A сравнивает 4 и 0 и тоже выбирает очный. Если B выбирает дистанционный, A сравнивает 0 и 2 и предпочитает дистанционный. Для B рассуждение симметрично. Получаем два равновесия в чистых стратегиях: «обе очно» и «обе дистанционно». Ни в одном из них односторонняя смена формата не повышает выигрыш.

При этом A предпочитает первое равновесие, а B — второе. Сам критерий Нэша не определяет, на каком из двух участники остановятся.

Равновесие и доминирование

Доминирующая стратегия является лучшей независимо от выбора соперника. Для равновесия Нэша достаточно наилучшего ответа на конкретный выбор соперника. В примере с форматами доминирующих стратегий нет, хотя равновесия есть.²

Когда нужно смешивать стратегии

Чистая стратегия выбирает определённое действие, смешанная задаёт вероятности. Например, A и B одновременно называют «орёл» или «решка». При совпадении A получает 1, B получает −1, при несовпадении выигрыши меняются местами. У любой определённой пары действий есть проигравший, который улучшит результат сменой выбора.

Если каждый независимо выбирает оба варианта с вероятностями 1/2, ожидаемый выигрыш любого чистого действия равен нулю. Одностороннее изменение вероятностей его не увеличивает. Это равновесие в смешанных стратегиях, хотя в чистых стратегиях равновесий здесь нет. Общий принцип проверки сохраняется, но сравнивают ожидаемые выигрыши.²

Частые ошибки

Проверка «всем ли участникам нравится этот исход» не заменяет поиск равновесия. Игроки могут предпочитать совместный переход к другому исходу, но не иметь выгодного одностороннего отклонения. Поэтому равновесие Нэша не гарантирует эффективность по Парето.

Другие вопросы

Источники

1 Введение в экономику Экономический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова. Электронный учебник на платформе «Учебник+». § 1.3 «Как формируются экономические равновесия? Основы стратегического взаимодействия людей и фирм», разделы «Как определить равновесие в игре» и «Равновесие на примере статической игры»
2 Yildiz M. Nash Equilibrium MIT OpenCourseWare. Курс 14.12 «Economic Applications of Game Theory». Конспект 2012 г., глава 6, §§ 6.1–6.3. Повторно размещён в материалах курса 2025 г.