Алгебраическая форма и операции
Комплексное число имеет вид \(z=a+bi\), где \(a,b\in\mathbb R\) и \(i^2=-1\). Сложение и вычитание выполняют покомпонентно. Умножение раскрывают по обычным правилам алгебры с заменой \(i^2\) на \(-1\): \((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\).1
Сопряжённое число \(\bar z=a-bi\). Произведение \(z\bar z=a^2+b^2=|z|^2\), поэтому при \(w=c+di\ne0\)
\[\frac{z}{w}=\frac{z\bar w}{|w|^2}.\]
Это сводит деление к умножению и делению на вещественное число.1
Геометрическая, тригонометрическая и показательная формы
На комплексной плоскости числу \(z=a+bi\) соответствует точка \((a,b)\). Модуль \(r=|z|\) — длина её радиус-вектора. Если \(z\ne0\), любой угол \(\varphi\), удовлетворяющий \(a=r\cos\varphi\), \(b=r\sin\varphi\), является аргументом \(z\). У числа \(0\) аргумент не определён. Аргумент многозначен: вместе с \(\varphi\) подходят все \(\varphi+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).1
Для \(z\ne0\)
\[z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).\]
Из формулы Эйлера \(e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\) следует показательная запись \(z=re^{i\varphi}\). Она особенно удобна для умножения и деления:
\[r_1e^{i\varphi_1}\cdot r_2e^{i\varphi_2}=r_1r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}.\]
Формула Муавра и корни
Для любого целого \(n\) формула Муавра имеет вид
\[(\cos\varphi+i\sin\varphi)^n=\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi).\]
Следовательно, для \(z=re^{i\varphi}\ne0\) имеем \(z^n=r^n e^{in\varphi}\) при любом целом \(n\).1
Пусть \(z=re^{i\varphi}\ne0\) и \(n\ge1\) — натуральное число. Все решения \(w^n=z\) имеют вид
\[w_k=r^{1/n}\left(\cos\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right),\quad k=0,\ldots,n-1.\]
Эти \(n\) корней лежат на окружности радиуса \(r^{1/n}\) и образуют вершины правильного \(n\)-угольника. Для \(z=0\) корень один: \(w=0\).1