Матрицы: основные виды, линейные операции, произведение, транспонирование и след

Матрица \(A=(a_{ij})\) размера \(m\times n\) — таблица из \(m\) строк и \(n\) столбцов. Индекс \(i\) указывает строку, индекс \(j\) — столбец. Матрицы одинакового размера можно складывать и умножать на число покомпонентно. Произведение \(AB\) определено, когда число столбцов \(A\) равно числу строк \(B\). Его элементы вычисляются по формуле \(c_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}\).1

Транспонирование меняет строки и столбцы местами: \((A^T)_{ij}=a_{ji}\). След квадратной матрицы равен сумме диагональных элементов, \(\operatorname{tr}A=\sum_i a_{ii}\). Матричное умножение в общем случае некоммутативно, поэтому обычно \(AB\ne BA\).1

Что важно запомнить
  • Размер \(m\times n\): \(m\) строк и \(n\) столбцов.
  • Складывать можно только матрицы одинакового размера.
  • \(AB\) существует для \(A_{m\times p}\) и \(B_{p\times n}\); результат имеет размер \(m\times n\).
  • Матричное умножение ассоциативно и дистрибутивно, но в общем случае не коммутативно.
  • \((AB)^T=B^TA^T\).
  • След определён только для квадратной матрицы и равен сумме её диагональных элементов.

Матрица и основные виды

Матрица \(A=(a_{ij})_{m\times n}\) — система элементов, расположенных в \(m\) строках и \(n\) столбцах. Матрица с одной строкой называется матрицей-строкой, с одним столбцом — матрицей-столбцом. Если \(m=n\), матрица квадратная. Среди квадратных матриц важны диагональные, единичная \(I\) и нулевая \(0\).1

Линейные операции

Если \(A\) и \(B\) имеют одинаковый размер, то

\[(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\qquad (\lambda A)_{ij}=\lambda a_{ij}.\]

Эти операции наследуют обычные свойства сложения и умножения на число: коммутативность и ассоциативность сложения, существование нулевой и противоположной матрицы, дистрибутивные свойства.1

Произведение матриц

Для \(A_{m\times p}\) и \(B_{p\times n}\) произведение \(C=AB\) имеет размер \(m\times n\), причём

\[c_{ij}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}.\]

Иными словами, \(c_{ij}\) получается умножением \(i\)-й строки \(A\) на \(j\)-й столбец \(B\). Умножение ассоциативно: \((AB)C=A(BC)\), и дистрибутивно относительно сложения. Но переставлять множители нельзя без дополнительного основания: даже когда оба произведения существуют, \(AB\) и \(BA\) могут различаться.1

Транспонирование и след

Транспонированная матрица \(A^T\) получается заменой строк столбцами. В частности, \((A^T)^T=A\) и \((AB)^T=B^TA^T\): порядок множителей при транспонировании произведения обращается.1

Для квадратной матрицы порядка \(n\)

\[\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}.\]

След линеен: \(\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}A+\operatorname{tr}B\), \(\operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda\operatorname{tr}A\). Если \(A\) имеет размер \(m\times n\), а \(B\) — \(n\times m\), то оба произведения \(AB\) и \(BA\) квадратные и \(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\).1

Пример простыми словами

Небольшой расчёт сразу показывает, почему порядок множителей важен. Для \(A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\) и \(B=\begin{pmatrix}3&0\\1&4\end{pmatrix}\) получаем разные матрицы \(AB\) и \(BA\). Значит, матрицы нельзя переставлять как обычные числа.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 46–61.