Линейные комбинации и линейная зависимость строк и столбцов матрицы. Линейная оболочка

Строки и столбцы матрицы можно рассматривать как векторы. Их линейная комбинация имеет вид \(\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k\). Совокупность всех таких комбинаций образует линейную оболочку \(\langle v_1,\ldots,v_k\rangle\).1

Система векторов линейно зависима, если существует нетривиальный набор коэффициентов, не все равные нулю, для которого \(\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k=0\). Если такое равенство возможно только при \(\alpha_1=\cdots=\alpha_k=0\), система линейно независима. Для конечной линейно зависимой системы хотя бы один вектор можно выразить как линейную комбинацию остальных; линейная оболочка описывает всё пространство комбинаций этих строк или столбцов.1

Что важно запомнить
  • Линейная комбинация — сумма векторов с числовыми коэффициентами.
  • Линейная оболочка — множество всех линейных комбинаций данной системы.
  • Зависимость означает существование нетривиального равенства \(\sum \alpha_i v_i=0\).
  • Наличие нулевого вектора делает систему зависимой.
  • Если один вектор является линейной комбинацией остальных, система зависима.
  • Столбцы \(A\) непосредственно участвуют в записи \(Ax\): вектор \(Ax\) — линейная комбинация столбцов \(A\).

Линейная комбинация и линейная оболочка

Пусть \(v_1,\ldots,v_k\) — строки одинаковой длины или столбцы одинаковой высоты. Выражение

\[\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k\]

называется линейной комбинацией этих векторов. Все возможные линейные комбинации образуют их линейную оболочку. Это наименьшее линейное подпространство, содержащее исходные векторы.1

Для матрицы \(A=[A_1\,A_2\,\ldots\,A_n]\) с столбцами \(A_j\) произведение на столбец \(x=(x_1,\ldots,x_n)^T\) имеет вид

\[Ax=x_1A_1+\cdots+x_nA_n.\]

Поэтому матричное уравнение \(Ax=b\) разрешимо тогда и только тогда, когда \(b\) принадлежит линейной оболочке столбцов \(A\). Так разрешимость \(Ax=b\) непосредственно связывается с пространством столбцов матрицы.1

Линейная зависимость

Векторы \(v_1,\ldots,v_k\) называются линейно зависимыми, если существуют коэффициенты \(\alpha_i\), не все нулевые, для которых

\[\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k=0.\]

Если нулевая комбинация возможна только при всех \(\alpha_i=0\), система линейно независима.1

Из определения следуют полезные критерии. Система с нулевым вектором зависима. Если один из векторов выражается линейной комбинацией остальных, система зависима. Обратно, из любой нетривиальной линейной зависимости можно выразить вектор с ненулевым коэффициентом через остальные.1

Строки и столбцы матрицы

Для одной матрицы можно отдельно рассматривать линейную оболочку строк и линейную оболочку столбцов. Их базисы могут состоять из разных наборов векторов, но их размерности совпадают; это общее число называется рангом матрицы и подробно рассматривается в отдельной теме.1

Пример простыми словами

В \(\mathbb R^2\) возьмём \(v_1=(1,0)^T\), \(v_2=(0,1)^T\) и \(v_3=(1,1)^T\). Первые два уже порождают всю плоскость, а третий ничего нового не добавляет: \(v_3=v_1+v_2\). Поэтому оболочка остаётся двумерной, хотя сама тройка линейно зависима.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 52–55, 98–108.