Определение
Для квадратной матрицы \(A=(a_{ij})\) порядка \(n\) определитель можно определить формулой
\[\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\,a_{1,\sigma(1)}a_{2,\sigma(2)}\cdots a_{n,\sigma(n)},\]
где сумма берётся по всем перестановкам \(\sigma\) чисел \(1,\ldots,n\), а \(\operatorname{sgn}(\sigma)\) — знак перестановки. В каждом произведении используется ровно один элемент из каждой строки и каждого столбца.1
Для порядка 2 формула упрощается:
\[\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.\]
Основные свойства
Определитель линеен по каждой строке при фиксированных остальных строках и меняет знак при перестановке двух строк. Отсюда следуют стандартные правила вычисления: если две строки равны или пропорциональны, определитель равен нулю; вынесение множителя \(\lambda\) из строки выносит его из определителя; прибавление к строке другой строки, умноженной на число, определитель не меняет. Те же утверждения справедливы для столбцов.1
Кроме того,
\[\det A^T=\det A,\qquad \det(AB)=\det A\cdot\det B.\]
Ненулевой определитель означает линейную независимость строк и столбцов квадратной матрицы; это эквивалентно её обратимости.1
Миноры и алгебраические дополнения
Минор элемента \(a_{ij}\) — определитель \(M_{ij}\) матрицы порядка \(n-1\), полученной удалением \(i\)-й строки и \(j\)-го столбца. Алгебраическое дополнение
\[C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\]
учитывает знак, зависящий от позиции элемента.1
Разложение по строке или столбцу
Для любой фиксированной строки \(i\)
\[\det A=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij},\]
а для любого столбца \(j\)
\[\det A=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}.\]
Это разложение Лапласа. Оно особенно удобно, если в выбранной строке или столбце много нулей. «Фальшивое» разложение — сумма элементов одной строки, умноженных на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки, — равно нулю.1