Обратная матрица: условия существования, свойства и способы вычисления

Обратной к квадратной матрице \(A\) называется матрица \(A^{-1}\), для которой \(AA^{-1}=A^{-1}A=I\). Если обратная матрица существует, она единственна. Матрица обратима тогда и только тогда, когда \(\det A\ne0\), то есть её ранг равен её порядку.1

Вычислять \(A^{-1}\) можно через присоединённую матрицу \(A^{-1}=(\det A)^{-1}\operatorname{adj}A\) или методом Гаусса—Жордана, преобразуя расширенный блок \([A\,|\,I]\) в \([I\,|\,A^{-1}]\). Для произведения обратимых матриц \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\): порядок множителей обращается.1

Что важно запомнить
  • Обратимыми бывают только квадратные матрицы.
  • \(A^{-1}\) существует ⇔ \(\det A\ne0\) ⇔ \(\operatorname{rank}A=n\).
  • Обратная матрица единственна.
  • \(AA^{-1}=A^{-1}A=I\).
  • \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).
  • Два основных вычислительных пути: формула через алгебраические дополнения и Гаусс—Жордан.

Определение и критерий существования

Пусть \(A\) — квадратная матрица порядка \(n\). Матрица \(B\) называется обратной к \(A\), если

\[AB=BA=I.\]

Если такая матрица существует, она единственна и обозначается \(A^{-1}\).1

Ключевой критерий:

\[A\text{ обратима}\quad\Longleftrightarrow\quad \det A\ne0.\]

Эквивалентно, все строки и столбцы \(A\) линейно независимы и \(\operatorname{rank}A=n\). Если \(\det A=0\), обратной матрицы нет.1

Свойства

Для обратимых матриц выполняются

\[(A^{-1})^{-1}=A,\qquad (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},\qquad (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T.\]

Вторая формула проверяется прямым умножением: \((AB)(B^{-1}A^{-1})=AIA^{-1}=I\).1

Вычисление через присоединённую матрицу

Если \(\det A\ne0\), то

\[A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}A,\]

где \(\operatorname{adj}A\) — транспонированная матрица алгебраических дополнений. Для

\[A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\]

получаем

\[A^{-1}=\frac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix},\qquad ad-bc\ne0.\]

Метод Гаусса—Жордана

Составляют блок \([A\,|\,I]\) и выполняют элементарные преобразования строк. Если левую часть удаётся привести к \(I\), правая часть одновременно превращается в \(A^{-1}\):

\[[A\,|\,I]\sim[I\,|\,A^{-1}].\]

Если слева возникает нулевая строка до формирования единичной матрицы, \(A\) вырождена и обратной матрицы не существует.1

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 56–59, 72–88, 143–145.