Ранг матрицы, теорема о базисном миноре и элементарные преобразования

Ранг матрицы \(A\) — размерность линейной оболочки её столбцов. Она совпадает с размерностью линейной оболочки строк. Эквивалентно, \(\operatorname{rank}A\) равен наибольшему порядку ненулевого минора матрицы.1

Ненулевой минор порядка \(r=\operatorname{rank}A\) называется базисным. Теорема о базисном миноре утверждает, что столбцы и строки, проходящие через базисный минор, образуют базис соответствующих линейных оболочек. Элементарные преобразования строк или столбцов не меняют ранг, поэтому на практике ранг удобно находить приведением матрицы к ступенчатому виду.1

Что важно запомнить
  • \(\operatorname{rank}A\) — число линейно независимых направлений в строках или столбцах матрицы.
  • Строчный и столбцовый ранги совпадают.
  • Ранг равен максимальному порядку ненулевого минора.
  • Базисный минор — ненулевой минор порядка, равного рангу.
  • Элементарные преобразования сохраняют ранг.
  • В ступенчатом виде ранг равен числу ненулевых строк.

Что измеряет ранг

Столбцы матрицы \(A_{m\times n}\) являются векторами пространства \(K^m\). Размерность их линейной оболочки называется столбцовым рангом. Аналогично строки лежат в \(K^n\). Теорема о ранге утверждает, что размерности оболочек строк и столбцов совпадают. Общее значение обозначают \(\operatorname{rank}A\).1

Всегда

\[0\le \operatorname{rank}A\le \min(m,n).\]

Минорное определение и базисный минор

Минор порядка \(r\) — определитель любой квадратной подматрицы порядка \(r\), выделенной выбором \(r\) строк и \(r\) столбцов. Ранг равен максимальному порядку ненулевого минора.1

Если \(r=\operatorname{rank}A\), любой ненулевой минор порядка \(r\) называется базисным минором. Столбцы, в которых расположен такой минор, линейно независимы и образуют базис пространства столбцов; остальные столбцы выражаются через них. Аналогичное утверждение справедливо для соответствующих строк. Это и есть содержание теоремы о базисном миноре.1

Элементарные преобразования

К элементарным преобразованиям строк относят перестановку двух строк, умножение строки на ненулевое число и прибавление к строке другой строки, умноженной на число. Эти операции обратимы, поэтому не меняют пространство линейных зависимостей и сохраняют ранг. То же верно для элементарных преобразований столбцов.1

Отсюда практический алгоритм: привести матрицу элементарными преобразованиями строк к ступенчатому виду. Число ненулевых строк ступенчатой матрицы равно рангу исходной матрицы.1

Пример простыми словами

У матрицы \(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}\) вторая строка просто вдвое больше первой. После одного шага \(R_2\leftarrow R_2-2R_1\) она превращается в нулевую строку. Независимое направление остаётся одно, поэтому ранг равен 1.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 145–151.