Систему из \(m\) линейных уравнений с \(n\) неизвестными удобно записывать как \(Ax=b\). Здесь \(A\) — матрица коэффициентов, \(x\) — столбец неизвестных, а \(b\) — столбец правых частей. Расширенная матрица системы имеет вид \([A\,|\,b]\). Две системы называют эквивалентными, если множества их решений совпадают. Обратимые элементарные преобразования уравнений сохраняют это
Система совместна, если у неё есть хотя бы одно решение. Теорема Кронекера—Капелли даёт критерий совместности:
\[
\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\,|\,b].
\]
Если общий ранг равен числу неизвестных \(n\), решение единственно. Если он меньше \(n\), свободных параметров \(n-r\), и над \(\mathbb R\) или \(\mathbb C\) решений бесконечно
Что важно запомнить
- Матричная запись СЛАУ: \(Ax=b\).
- Расширенная матрица: \([A\,|\,b]\).
- Эквивалентные системы имеют одинаковое множество решений.
- Элементарные преобразования строк расширенной матрицы сохраняют множество решений.
- Кронекер—Капелли: совместность ⇔ \(\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\,|\,b]\).
- При совместности: ранг \(=n\) — единственное решение; ранг \(<n\) — бесконечно много решений.
Матричная запись
Система
\[\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i,\qquad i=1,\ldots,m,\]
кратко записывается как
\[Ax=b.\]
Матрица \(A=(a_{ij})\) называется основной матрицей системы, а \([A\,|\,b]\) — расширенной. Решение — такой столбец \(x\), при подстановке которого равенство
Эквивалентные системы
Две системы эквивалентны, если их множества решений совпадают. Эквивалентность сохраняют обратимые элементарные операции над уравнениями: перестановка уравнений, умножение уравнения на ненулевое число и прибавление к одному уравнению другого, умноженного на число. На матричном языке это элементарные преобразования строк расширенной
Совместность и теорема Кронекера—Капелли
Система совместна, если существует хотя бы одно решение. Вектор \(b\) должен быть линейной комбинацией столбцов \(A\). Добавление столбца \(b\) не должно увеличивать размерность пространства столбцов. Поэтому
\[Ax=b\text{ совместна}\quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\,|\,b].\]
Это теорема Кронекера—Капелли
Пусть общий ранг равен \(r\). Если \(r=n\), свободных неизвестных нет и совместная система имеет единственное решение. Если \(r<n\), появляются \(n-r\) свободных параметров, поэтому над \(\mathbb R\) или \(\mathbb C\) решений бесконечно много. Если ранги основной и расширенной матриц различаются, система
Пример простыми словами
Рассмотрим систему \(x+y=1\), \(2x+2y=3\). Левые части второго уравнения ровно вдвое больше первых, а правая часть должна была бы быть равна 2, а не 3. Это и проявляется в рангах: \(\operatorname{rank}A=1\), а \(\operatorname{rank}[A|b]=2\), поэтому система несовместна.
