Методы решения СЛАУ: метод Гаусса, алгоритм Гаусса—Жордана, формулы Крамера и метод обратной матрицы

Универсальный способ решения СЛАУ — последовательные элементарные преобразования расширенной матрицы. Метод Гаусса приводит систему к ступенчатому виду, после чего неизвестные находят обратной подстановкой. Алгоритм Гаусса—Жордана продолжает преобразования до приведённого ступенчатого вида, где ведущие неизвестные читаются непосредственно.1

Формулы Крамера и метод обратной матрицы применимы только к квадратной системе \(Ax=b\) с \(\det A\ne0\). Тогда \(x_i=\det A_i/\det A\), а также \(x=A^{-1}b\). Эти методы дают то же единственное решение, но имеют более узкую область применения, чем исключение Гаусса.1

Что важно запомнить
  • Гаусс работает для общих линейных систем и одновременно выявляет совместность и свободные переменные.
  • Гаусс—Жордан доводит матрицу до приведённого ступенчатого вида.
  • Крамер: только квадратная система с \(\det A\ne0\).
  • Метод обратной матрицы: только при существовании \(A^{-1}\).
  • При \(\det A=0\) нельзя делить на определитель; нужно переходить к рангу и исключению Гаусса.

Метод Гаусса

Систему \(Ax=b\) заменяют расширенной матрицей \([A\,|\,b]\) и выполняют элементарные преобразования строк, не меняющие множество решений. Цель — получить ступенчатый вид: ведущий ненулевой элемент каждой следующей ненулевой строки располагается правее предыдущего. Затем неизвестные определяют, начиная с последнего ведущего уравнения, то есть обратной подстановкой.1

Метод Гаусса применим к прямоугольным матрицам, совместным и несовместным системам, системам с единственным и бесконечным числом решений. Поэтому он является основным универсальным методом.1

Алгоритм Гаусса—Жордана

Гаусс—Жордан продолжает исключение: каждый ведущий элемент делают равным 1 и зануляют остальные элементы его столбца. В приведённом ступенчатом виде основные переменные сразу выражены через свободные. Тот же алгоритм позволяет вычислять обратную матрицу, преобразуя \([A\,|\,I]\) в \([I\,|\,A^{-1}]\).1

Формулы Крамера

Для квадратной системы порядка \(n\) с \(\det A\ne0\) решение единственно. Если \(A_i\) получается заменой \(i\)-го столбца \(A\) на \(b\), то

\[x_i=\frac{\det A_i}{\det A},\qquad i=1,\ldots,n.\]

При \(\det A=0\) формулы Крамера неприменимы. Сам по себе нулевой определитель не означает несовместность: система может иметь бесконечно много решений.1

Метод обратной матрицы

Если \(A^{-1}\) существует, из \(Ax=b\) следует

\[x=A^{-1}b.\]

Этот способ требует квадратной невырожденной матрицы. Если \(A^{-1}\) уже известна, то для каждой новой правой части \(b\) решение сразу находится как \(x=A^{-1}b\). Для общего анализа системы существование обратной матрицы не требуется: элементарное исключение применимо и к прямоугольным, и к вырожденным системам.1

Пример простыми словами

На системе \(x+y=3\), \(2x-y=0\) удобно сравнить методы. Гаусс быстро даёт \(x=1\), \(y=2\). Поскольку определитель матрицы коэффициентов ненулевой, Крамер и метод обратной матрицы обязаны привести к тому же ответу. Различаются методы, а не решение.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 63–88, 117–145.