Однородные и неоднородные СЛАУ: пространство решений, фундаментальная система решений и общее решение

Однородная система имеет вид \(Ax=0\) и всегда совместна, поскольку \(x=0\) — решение. Все её решения образуют линейное подпространство \(\ker A\). Если в системе \(n\) неизвестных и \(\operatorname{rank}A=r\), то \(\dim\ker A=n-r\). Базис этого пространства называют фундаментальной системой решений (ФСР).1

Если неоднородная система \(Ax=b\) совместна и \(x_p\) — одно её частное решение, то все решения имеют вид \(x=x_p+x_h\), где \(x_h\) пробегает решения однородной системы \(Ax=0\). Поэтому множество решений неоднородной системы — аффинный сдвиг пространства \(\ker A\), а не линейное подпространство, если \(b\ne0\).1

Что важно запомнить
  • Однородная система \(Ax=0\) всегда имеет нулевое решение.
  • Решения однородной системы образуют линейное пространство \(\ker A\).
  • \(\dim\ker A=n-\operatorname{rank}A\).
  • ФСР — базис пространства решений однородной системы.
  • Общее однородное решение: \(x=\sum c_i\varphi_i\).
  • Для совместной \(Ax=b\): \(x=x_p+x_h\).
  • Разность любых двух решений одной неоднородной системы является решением соответствующей однородной.

Однородная система

Система \(Ax=0\) называется однородной. Нулевой столбец \(x=0\) всегда является её решением. Если \(x_1\) и \(x_2\) — решения, то для любых чисел \(\alpha,\beta\)

\[A(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha Ax_1+\beta Ax_2=0.\]

Поэтому множество решений — линейное подпространство, называемое ядром матрицы или линейного отображения: \(\ker A\).1

Фундаментальная система решений

Пусть \(A\) имеет \(n\) столбцов и ранг \(r\). Тогда пространство решений однородной системы имеет размерность \(n-r\). Любой его базис

\[\varphi_1,\ldots,\varphi_{n-r}\]

называют фундаментальной системой решений. Общее решение записывается

\[x=c_1\varphi_1+\cdots+c_{n-r}\varphi_{n-r},\]

где коэффициенты \(c_i\) произвольны. Если \(r=n\), то \(\ker A=\{0\}\). Размерность ядра равна нулю. По стандартному соглашению базис нулевого пространства — пустая система. Единственное решение однородной системы в этом случае — \(x=0\).1

Неоднородная система

Пусть \(Ax=b\) совместна и \(x_p\) — любое фиксированное частное решение. Если \(x\) — другое решение, то

\[A(x-x_p)=Ax-Ax_p=b-b=0,\]

то есть \(x-x_p\in\ker A\). Поэтому все решения имеют вид

\[x=x_p+x_h,\qquad x_h\in\ker A.\]

Множество решений — аффинное множество \(x_p+\ker A\). При \(b\ne0\) нулевой вектор не является решением, потому что \(A0=0\ne b\). Поэтому \(x_p+\ker A\) является аффинным, а не линейным подпространством.1

Пример простыми словами

Уравнение \(x+y+z=0\) задаёт плоскость решений, проходящую через начало координат. Если заменить правую часть на 1, плоскость просто сдвинется и перестанет проходить через ноль. Это наглядно показывает разницу между линейным пространством решений однородной системы и аффинным множеством решений неоднородной.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 63–72, 108–115.