Линейное пространство, подпространство и аффинное пространство: определения, свойства и примеры

Линейное пространство \(V\) над полем \(K\) — это множество, где определены сложение векторов и умножение вектора на скаляр. По сложению векторы образуют коммутативную группу, а умножение на скаляры согласовано со сложением векторов и арифметикой поля. Типичные примеры — \(K^n\), матрицы фиксированного размера, многочлены и функции.1

Подпространство \(W\subseteq V\) — непустое подмножество, замкнутое относительно любых линейных комбинаций своих элементов. В аффинном пространстве нет выделенной нулевой точки: к точке можно прибавить вектор, а разность двух точек является вектором. После выбора начала аффинное подпространство можно записать как \(p+W\). Оно является линейным подпространством ровно тогда, когда \(p\in W\), то есть когда \(0\in p+W\).1

Что важно запомнить
  • Линейное пространство задаётся над полем скаляров \(K\).
  • Векторы можно складывать и умножать на скаляры; операции удовлетворяют аксиомам линейности.
  • Подпространство непусто и замкнуто относительно любых линейных комбинаций своих элементов.
  • Любое линейное подпространство содержит нулевой вектор.
  • Аффинное пространство — пространство точек с действием векторного пространства, но без выделенного начала.
  • Аффинное подпространство имеет вид \(p+W\).
  • В векторной модели \(p+W\) является линейным подпространством тогда и только тогда, когда \(p\in W\).

Линейное пространство

Линейное (векторное) пространство \(V\) над полем \(K\) — множество, где определены операции \(u+v\) и \(\lambda v\). По сложению векторы образуют коммутативную группу: сложение ассоциативно и коммутативно, есть нулевой и противоположный вектор. Умножение на скаляр удовлетворяет

\[\lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v,\qquad (\lambda+\mu)v=\lambda v+\mu v,\]

\[(\lambda\mu)v=\lambda(\mu v),\qquad 1v=v.\]

Из аксиом следуют привычные правила \(0v=0\), \(\lambda0=0\), \((-1)v=-v\).1

Примеры: \(K^n\), множество матриц одного фиксированного размера, пространство многочленов и пространство функций на заданном множестве.1

Подпространство

Непустое подмножество \(W\subseteq V\) является линейным подпространством, если вместе с любыми \(u,v\in W\) и \(\alpha,\beta\in K\) оно содержит \(\alpha u+\beta v\). Этого одного критерия достаточно: операции и остальные аксиомы наследуются из \(V\).1

Например, множество решений однородной системы \(Ax=0\) — подпространство \(K^n\). Прямая через начало координат в \(\mathbb R^2\) также является подпространством; параллельная ей прямая, не проходящая через начало, уже не является линейным подпространством.1

Аффинное пространство

В аффинном пространстве основными объектами являются точки, а векторы описывают смещения между ними. Пространство векторов действует на множестве точек так, что \(P+0=P\), последовательные смещения складываются по правилу \((P+u)+v=P+(u+v)\), а для любых точек \(P,Q\) существует единственный вектор \(v\) с \(Q=P+v\). Поэтому определена разность точек \(\overrightarrow{PQ}\), но выделенного «нулевого пункта» нет. Выбор начала координат создаёт такое выделение, однако оно не является частью внутренней структуры аффинного пространства.1

Если \(W\) — линейное подпространство пространства направлений, то множество

\[P+W=\{P+w\mid w\in W\}\]

является аффинным подпространством. Если после выбора начала мы рассматриваем его как множество \(p+W\subset V\), оно является линейным подпространством тогда и только тогда, когда \(p\in W\), или, что то же самое, когда содержит нулевой вектор. Именно поэтому множество решений совместной неоднородной системы \(Ax=b\) имеет аффинную структуру \(x_p+\ker A\).1

Пример простыми словами

В \(\mathbb R^2\) прямые \(x+y=0\) и \(x+y=1\) выглядят почти одинаково: они параллельны и имеют одно направление. Но только первая проходит через ноль и является линейным подпространством. Вторая — её аффинный сдвиг.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 94–102, 157–160.