Линейная зависимость, базис, размерность и координаты в конечномерном линейном пространстве

Векторы \(v_1,\ldots,v_k\) линейно зависимы, если существует нетривиальное равенство \(\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k=0\), где не все коэффициенты равны нулю. Если это возможно только при всех \(\alpha_i=0\), система линейно независима.1

Базис конечномерного пространства \(V\) — линейно независимая система, порождающая всё \(V\). Число векторов в любом базисе одинаково и называется размерностью \(\dim V\). После выбора базиса \(E=(e_1,\ldots,e_n)\) каждый вектор единственным образом представляется как \(v=x^1e_1+\cdots+x^ne_n\); числа \(x^i\) являются его координатами в этом базисе.1

Что важно запомнить
  • Линейная зависимость означает существование нетривиальной нулевой линейной комбинации.
  • Базис должен одновременно быть линейно независимым и порождать всё пространство.
  • Все базисы конечномерного пространства имеют одинаковое число векторов.
  • \(\dim V\) — число векторов в любом базисе \(V\).
  • Координаты вектора определены только после выбора базиса и в фиксированном базисе единственны.

Линейная зависимость и независимость

Система \(v_1,\ldots,v_k\) называется линейно зависимой, если существуют скаляры \(\alpha_1,\ldots,\alpha_k\), не все равные нулю, такие что

\[\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_kv_k=0.\]

Если из этого равенства обязательно следует \(\alpha_1=\cdots=\alpha_k=0\), система линейно независима. Для конечной системы зависимость эквивалентна тому, что один из векторов можно выразить линейной комбинацией остальных.1

Базис и размерность

Система \(E=(e_1,\ldots,e_n)\) является базисом пространства \(V\), если она линейно независима и её линейная оболочка совпадает с \(V\). Поэтому базис содержит ровно столько независимых направлений, сколько необходимо для описания любого вектора пространства.1

В конечномерном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов. Это число называется размерностью пространства и обозначается \(\dim V\). Например, \(\dim \mathbb R^3=3\), а пространство многочленов степени не выше \(m\) имеет размерность \(m+1\).1

Координаты вектора

Пусть \(E=(e_1,\ldots,e_n)\) — базис. Тогда для каждого \(v\in V\) существует единственное разложение

\[v=x^1e_1+\cdots+x^ne_n.\]

Столбец \(X=(x^1,\ldots,x^n)^T\) называется столбцом координат \(v\) в базисе \(E\). Единственность координат следует из линейной независимости базисных векторов: два разных набора коэффициентов дали бы нетривиальную линейную зависимость.1

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 102–115.