Пусть \(E=(e_1,\ldots,e_n)\) и \(F=(f_1,\ldots,f_n)\) — два базиса одного пространства. Зафиксируем соглашение: матрица \(C\) перехода от \(E\) к \(F\) составлена из координат векторов \(f_j\) в базисе \(E\). Тогда \(F=EC\). Если один и тот же вектор имеет координаты \(X\) в \(E\) и \(Y\) в \(F\), то \(X=CY\), а значит
Матрица перехода всегда обратима, потому что её столбцы — координаты нового базиса и потому линейно независимы. Далее используется соглашение \(F=EC\), поэтому координаты связаны именно формулами \(X_E=CX_F\) и
Что важно запомнить
- Столбцы матрицы \(C\) — координаты новых базисных векторов \(f_j\) в старом базисе \(E\).
- При соглашении \(F=EC\): \(X_E=CX_F\).
- Обратное преобразование: \(X_F=C^{-1}X_E\).
- Матрица перехода невырождена.
- При смене начала аффинной системы координат к линейному преобразованию добавляется перенос.
Матрица перехода
Пусть новые базисные векторы разложены по старому базису:
\[f_j=\sum_{i=1}^{n}c_{ij}e_i.\]
Матрица \(C=(c_{ij})\), в \(j\)-м столбце которой стоят координаты \(f_j\) в базисе \(E\), называется матрицей перехода при выбранном соглашении. В компактной записи
\[F=EC.\]
Поскольку \(F\) — базис, столбцы \(C\) линейно независимы, поэтому \(\det C\ne0\) и \(C^{-1}\)
Как меняются координаты вектора
Пусть \(v=EX=FY\). Подставляя \(F=EC\), получаем
\[EX=ECY.\]
Из единственности координат следует
\[X=CY,\qquad Y=C^{-1}X.\]
Итак, при переходе к новому базису сам геометрический или абстрактный вектор не меняется. Меняется только числовой столбец, которым он
Если меняется и начало координат
Для аффинной системы координат возможны одновременно смена базиса и перенос начала. Если новое начало имеет старый радиус-вектор \(X_0\), а столбцы \(C\) задают новый базис в старых координатах, то координаты точки связаны формулой
\[X=X_0+CY,\qquad Y=C^{-1}(X-X_0).\]
Это уже аффинное, а не чисто линейное преобразование
Пример простыми словами
Возьмём в \(\mathbb R^2\) новый базис \(f_1=(1,1)\), \(f_2=(1,-1)\). Вектор с обычными координатами \((3,1)^T\) записывается в новом базисе как \((2,1)^T\), потому что \(2f_1+f_2=(3,1)\). Сам вектор не изменился — изменились только числа, которыми мы его описываем.
