Изоморфизм конечномерных линейных пространств и его связь с выбором базиса

Изоморфизм линейных пространств \(g:V\to W\) — линейное взаимно однозначное отображение. Он сохраняет линейную структуру: суммы, умножение на скаляры, линейную зависимость, размерность подпространств.1

Два конечномерных пространства над одним полем изоморфны тогда и только тогда, когда имеют одинаковую размерность. Если выбрать базисы \(E=(e_1,\ldots,e_n)\) в \(V\) и \(F=(f_1,\ldots,f_n)\) в \(W\), существует единственный линейный изоморфизм, для которого \(g(e_i)=f_i\). В этих базисах он сохраняет столбец координат. Поэтому выбор базиса фактически отождествляет \(n\)-мерное пространство с \(K^n\), но такое отождествление зависит от выбора базиса и не является каноническим.1

Что важно запомнить
  • Изоморфизм — биективное линейное отображение.
  • Конечномерные пространства над одним полем изоморфны ⇔ их размерности равны.
  • Образ базиса при изоморфизме снова является базисом.
  • Выбор базиса задаёт изоморфизм \(V\cong K^n\).
  • Этот изоморфизм зависит от выбранного базиса.

Определение изоморфизма

Линейное отображение \(g:V\to W\) называется изоморфизмом, если оно биективно. Линейность означает

\[g(\alpha u+\beta v)=\alpha g(u)+\beta g(v).\]

Биективность гарантирует существование обратного отображения \(g^{-1}:W\to V\), которое также линейно. Поэтому изоморфные пространства имеют одинаковую линейную структуру, хотя их элементы могут иметь совершенно разную природу.1

Критерий для конечномерных пространств

Если \(V\) и \(W\) конечномерны над одним полем, то

\[V\cong W\quad\Longleftrightarrow\quad \dim V=\dim W.\]

Действительно, изоморфизм переводит любой базис \(V\) в базис \(W\), поэтому размеры базисов совпадают. Обратно, если обе размерности равны \(n\), выбираем базисы \(E=(e_1,\ldots,e_n)\) и \(F=(f_1,\ldots,f_n)\) и задаём \(g(e_i)=f_i\). Линейное продолжение этого правила даёт биекцию.1

Роль выбора базиса

Базис \(E\) задаёт координатный изоморфизм

\[\kappa_E:V\to K^n,\qquad v\mapsto [v]_E.\]

После выбора базиса абстрактные векторы можно вычислительно представлять столбцами. Но другой базис задаёт другой координатный изоморфизм. Поэтому утверждение «любое \(n\)-мерное пространство изоморфно \(K^n\)» не означает, что существует единственное естественное отождествление без дополнительного выбора.1

Пример простыми словами

Изоморфизм особенно легко увидеть на многочленах. Если базисом пространства \(P_2\) взять \(1,t,t^2\), то многочлен \(a+bt+ct^2\) можно без потери информации заменить столбцом \((a,b,c)^T\). Поэтому вычисления в \(P_2\) можно перенести в привычное \(\mathbb R^3\).

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 115–117.