Аффинная система координат
Пусть \(A\) — аффинное пространство, а \(V\) — связанное с ним векторное пространство. Выберем точку \(O\) и базис \(E=(e_1,\ldots,e_n)\) в \(V\). Пара \(OE\) называется аффинной системой координат, или аффинным репером. Для точки \(M\) радиус-вектором относительно \(O\) является
\[r=\overrightarrow{OM}.\]
Координатами точки \(M\) называют координаты этого вектора в базисе \(E\). Поэтому смена начала координат меняет радиус-вектор точки, а смена базиса меняет его координатный столбец.1
Декартовы координаты
В двумерном случае репер содержит два линейно независимых базисных вектора, в трёхмерном — три. В курсе используются как прямоугольные декартовы, так и косоугольные декартовы системы координат. В прямоугольной системе базис ортонормирован. В косоугольной системе базисные векторы остаются линейно независимыми, но могут иметь разные длины и образовывать непрямые углы.1
Для двух точек \(A\) и \(B\)
\[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=r_B-r_A.\]
Деление отрезка
Пусть \(M\) лежит внутри \(AB\) и
\[\frac{|AM|}{|MB|}=\frac{\alpha}{\beta},\qquad \alpha,\beta>0.\]
Тогда
\[r_M=\frac{\beta r_A+\alpha r_B}{\alpha+\beta}.\]
Если \(A=(x_1,y_1,z_1)\), \(B=(x_2,y_2,z_2)\), то, например,
\[x_M=\frac{\beta x_1+\alpha x_2}{\alpha+\beta},\]
и аналогично для остальных координат. При \(\alpha=\beta\) получаем формулу середины отрезка.1
Для внешнего деления используют направленные отношения: та же аффинная формула сохраняется при знаковых коэффициентах разных знаков, если \(\alpha+\beta\ne0\). При такой записи выбранную ориентацию отрезка нужно фиксировать явно.1