Геометрические векторы: линейные операции, базис и координаты, коллинеарность, компланарность и ориентация

Свободный геометрический вектор описывает направление и величину переноса и может быть представлен любым равным ему направленным отрезком. Векторы можно складывать по правилу треугольника и умножать на число. Эти операции образуют линейное пространство.¹

На плоскости базис образуют два неколлинеарных вектора, в пространстве — три некомпланарных. Координаты вектора — коэффициенты его единственного разложения по базису. Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда линейно зависимы; три вектора в пространстве компланарны тогда и только тогда, когда линейно зависимы. Для вещественного трёхмерного пространства упорядоченные базисы делятся на две ориентации: правую и левую.^{1, 2}

Что важно запомнить

Сложение и умножение на число — линейные операции над векторами.
Базис плоскости: два неколлинеарных вектора; базис пространства: три некомпланарных.
Координаты — коэффициенты разложения по базису.
Коллинеарность двух векторов ⇔ их линейная зависимость.
Компланарность трёх векторов в \(\mathbb R^3\) ⇔ их линейная зависимость.
Знак определителя матрицы перехода различает одинаковую и противоположную ориентацию вещественных базисов.

Линейные операции над геометрическими векторами

Свободный вектор можно понимать как класс равных направленных отрезков. Сумма \(a+b\) строится правилом треугольника или параллелограмма, а умножение \(\lambda a\) меняет длину в \(|\lambda|\) раз и при \(\lambda<0\) обращает направление. Эти операции удовлетворяют аксиомам линейного пространства.¹

Базис и координаты

На плоскости два неколлинеарных вектора \(e_1,e_2\) образуют базис: любой вектор единственным образом представляется как \(a=x^1e_1+x^2e_2\). В пространстве базис образуют три некомпланарных вектора, и разложение имеет вид \(a=x^1e_1+x^2e_2+x^3e_3\). Числа \(x^i\) — координаты вектора в выбранном базисе.^{1, 2}

Коллинеарность и компланарность

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда система из них линейно зависима. Если \(a\ne0\), это эквивалентно существованию числа \(\lambda\), для которого \(b=\lambda a\). Нулевой вектор коллинеарен любому вектору в смысле критерия линейной зависимости.¹

Три вектора в трёхмерном пространстве компланарны, если могут быть помещены в одну плоскость через начало. Это эквивалентно линейной зависимости тройки. Эквивалентный числовой критерий: смешанное произведение трёх векторов равно нулю.¹

Ориентация

В вещественном пространстве упорядоченные базисы разбиваются на два класса ориентации. Если матрица перехода от одного базиса к другому имеет положительный определитель, ориентация сохраняется; если отрицательный — меняется. В трёхмерной геометрии эти два класса называют правой и левой ориентациями.¹

Пример простыми словами

Пусть \(a=(1,0,0)\), \(b=(0,1,0)\), \(c=(1,1,0)\). Все три вектора лежат в плоскости \(z=0\), причём \(c=a+b\), поэтому тройка зависима. Если заменить \(c\) на \((0,0,1)\), получим три независимых направления и базис пространства.

Другие вопросы

Источники

1 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 90–115, 151–155.
2 Корпусов М. О. Консультация 2. Векторы. Базис и координаты Кафедра математики физического факультета МГУ. 12 с.