Скалярное произведение: свойства, координатная формула, длина, угол, ортогональность и проекции

В евклидовом пространстве скалярное произведение двух векторов \(a,b\) геометрически равно \((a,b)=|a||b|\cos\varphi\). Оно билинейно, симметрично и положительно определено. В ортонормированном базисе \((a,b)=\sum_i a_i b_i\).1

Через скалярное произведение выражаются длина \(|a|=\sqrt{(a,a)}\) и угол \(\cos\varphi=(a,b)/(|a||b|)\) для ненулевых векторов. Ортогональность задаётся условием \((a,b)=0\); нулевой вектор ортогонален любому вектору. Для \(b\ne0\) вектор ортогональной проекции \(a\) на направление \(b\) равен \(\operatorname{proj}_b a=((a,b)/(b,b))\,b\), а скалярная проекция на ориентированную ось \(b\) равна \((a,b)/|b|\).1

Что важно запомнить
  • \((a,b)=|a||b|\cos\varphi\).
  • Скалярное произведение билинейно, симметрично и положительно определено.
  • В ортонормированном базисе: \((a,b)=a_1b_1+\cdots+a_nb_n\).
  • \(|a|=\sqrt{(a,a)}\).
  • Ортогональность: \((a,b)=0\); нулевой вектор ортогонален любому.
  • \(\operatorname{proj}_b a=((a,b)/(b,b))b\), \(b\ne0\).

Определение и свойства

Для геометрических векторов евклидова пространства

\[(a,b)=|a|\,|b|\cos\varphi,\]

где \(\varphi\) — неориентированный угол между \(a\) и \(b\). Скалярное произведение обладает тремя основными свойствами: билинейностью, симметричностью и положительной определённостью. Последнее означает \((a,a)>0\) при \(a\ne0\) и \((0,0)=0\).1

Координатная формула и длина

В ортонормированном базисе \(e_1,\ldots,e_n\)

\[(a,b)=\sum_{i=1}^{n}a_i b_i.\]

Отсюда

\[|a|=\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}=\sqrt{(a,a)}.\]

Простая координатная формула \(\sum a_i b_i\) относится именно к ортонормированному базису.1

Угол и ортогональность

Для ненулевых \(a,b\)

\[\cos\varphi=\frac{(a,b)}{|a||b|}.\]

Для любых векторов условие \((a,b)=0\) является критерием ортогональности; в частности, нулевой вектор ортогонален любому. Формула угла выше применяется только к ненулевым векторам. Для ненулевого вектора \(b\) скалярная проекция \(a\) на ориентированное направление \(b\) равна

\[\operatorname{comp}_b a=\frac{(a,b)}{|b|},\]

а ортогональная векторная проекция —

\[\operatorname{proj}_b a=\frac{(a,b)}{(b,b)}\,b.\]1

Пример простыми словами

У вектора \(a=(3,4)\) ортогональная «тень» на ось \(Ox\) равна \((3,0)\). Её длина с учётом направления — 3. Этот простой пример хорошо различает скалярную проекцию, которая является числом, и векторную проекцию.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 183–191.