Векторное произведение: определение, свойства, координатная формула, геометрический смысл и двойное векторное произведение

В ориентированном трёхмерном евклидовом пространстве векторное произведение \(a\times b\) — вектор, перпендикулярный \(a\) и \(b\), длины \(|a\times b|=|a||b|\sin\varphi\), направленный так, чтобы тройка \(a,b,a\times b\) имела положительную ориентацию. Его модуль равен площади параллелограмма на \(a\) и \(b\).¹

В правом ортонормированном базисе \(a\times b\) вычисляется по стандартной координатной формуле через определитель. Произведение билинейно и антикоммутативно: \(a\times b=-(b\times a)\). Для двойного векторного произведения действует формула \(a\times(b\times c)=b(a,c)-c(a,b)\).^{1, 2}

Что важно запомнить

В стандартном курсе аналитической геометрии векторное произведение рассматривается в ориентированном трёхмерном евклидовом пространстве.
\(|a\times b|=|a||b|\sin\varphi\) — площадь параллелограмма.
\(a\times b\) ортогонален обоим сомножителям.
\(a\times b=-(b\times a)\); \(a\times a=0\).
\(a\times b=0\) ⇔ \(a,b\) коллинеарны.
\(a\times(b\times c)=b(a,c)-c(a,b)\).

Геометрическое определение

Пусть задана ориентация трёхмерного евклидова пространства. Векторное произведение \(a\times b\) определяется условиями

\[|a\times b|=|a|\,|b|\sin\varphi,\qquad a\times b\perp a,\quad a\times b\perp b,\]

а направление выбирается так, чтобы тройка \(a,b,a\times b\) была правой относительно выбранной ориентации. Если \(a\) и \(b\) коллинеарны или один из них нулевой, произведение равно нулю.¹

Модуль \(|a\times b|\) равен площади параллелограмма со сторонами \(a\) и \(b\). Это основной геометрический смысл операции.¹

Координатная формула и свойства

В правом ортонормированном базисе, если \(a=(a_1,a_2,a_3)\), \(b=(b_1,b_2,b_3)\), то

\[a\times b=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1).\]

Эквивалентно формулу запоминают как формальное разложение определителя по первой строке с \(i,j,k\). Векторное произведение билинейно и антикоммутативно, поэтому \(a\times a=0\) и перестановка сомножителей меняет знак.^{1, 2}

Двойное векторное произведение

Векторное произведение неассоциативно. Скобки в выражении из трёх векторов принципиальны. Основная формула

\[a\times(b\times c)=b(a,c)-c(a,b).\]

Для другой расстановки скобок

\[(a\times b)\times c=b(a,c)-a(b,c).\]

Обе формулы выражают двойное векторное произведение как линейную комбинацию двух исходных векторов.¹

Пример простыми словами

Возьмём \(a=(1,0,0)\) вдоль оси \(Ox\) и \(b=(0,2,0)\) вдоль \(Oy\). Их векторное произведение равно \((0,0,2)\): оно направлено вдоль \(Oz\), а его длина 2 совпадает с площадью прямоугольника со сторонами 1 и 2.

Другие вопросы

Источники

1 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 193–198.
2 Корпусов М. О. Консультация 5. Векторное и смешанное произведения Кафедра математики физического факультета МГУ. 18 с.