Смешанное произведение: свойства, координатная формула, объём и ориентация

Смешанное произведение трёх векторов в ориентированном трёхмерном евклидовом пространстве — число \((a,b,c)=a\cdot(b\times c)\). В правом ортонормированном базисе оно равно определителю матрицы, составленной из координат \(a,b,c\).1

Его абсолютная величина равна объёму параллелепипеда на трёх векторах, а знак показывает ориентацию упорядоченной тройки. Смешанное произведение линейно по каждому аргументу, сохраняется при циклической перестановке и меняет знак при перестановке двух векторов. Оно равно нулю тогда и только тогда, когда три вектора компланарны.1, 2

Что важно запомнить
  • \((a,b,c)=a\cdot(b\times c)\).
  • В правом ортонормированном базисе смешанное произведение вычисляется определителем координат.
  • \(|(a,b,c)|\) — объём параллелепипеда.
  • Знак различает положительную и отрицательную ориентацию тройки.
  • Циклическая перестановка не меняет значение; перестановка двух векторов меняет знак.
  • \((a,b,c)=0\) ⇔ векторы компланарны.

Определение и координатная формула

Смешанное произведение определяется формулой

\[(a,b,c)=a\cdot(b\times c).\]

В правом ортонормированном базисе

\[(a,b,c)=\det\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{pmatrix}.\]

Эта координатная формула записана для правого ортонормированного базиса.1

Геометрический смысл и ориентация

Площадь основания параллелепипеда на \(b,c\) равна \(|b\times c|\), а высота в направлении нормали даётся проекцией \(a\). Поэтому

\[V=|(a,b,c)|.\]

Без модуля смешанное произведение является ориентированным объёмом. В положительно ориентированном базисе положительный знак соответствует положительной ориентации тройки \(a,b,c\), отрицательный — противоположной.1

Свойства

Смешанное произведение линейно по каждому аргументу. Циклические перестановки сохраняют его:

\[(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b),\]

а перестановка любых двух аргументов меняет знак. Наконец,

\[(a,b,c)=0\]

тогда и только тогда, когда \(a,b,c\) линейно зависимы, то есть компланарны.1, 2

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 194–198.
  2. 2 Корпусов М. О. Консультация 5. Векторное и смешанное произведения Кафедра математики физического факультета МГУ. 18 с.