Прямая на плоскости: основные формы уравнений и их геометрический смысл

Параметрическая и каноническая формы

Пусть \(M_0\) — точка прямой, а \(a\ne0\) — её направляющий вектор. Тогда

\[r=r_0+ta,\qquad t\in\mathbb R.\]

В координатах

\[x=x_0+t a_x,\qquad y=y_0+t a_y.\]

Если обе компоненты направляющего вектора ненулевые, параметр можно исключить:

\[\frac{x-x_0}{a_x}=\frac{y-y_0}{a_y}.\]

Если \(a_x=0\), прямая задаётся условием \(x=x_0\); если \(a_y=0\), то \(y=y_0\). Поэтому запись с нулём в знаменателе не трактуется как обычное деление. Эквивалентная форма, не требующая деления на компоненты направления, получается из коллинеарности векторов \(r-r_0\) и \(a\):

\[\det\begin{pmatrix}x-x_0&y-y_0\\a_x&a_y\end{pmatrix}=0.\]

В курсе это уравнение также называется каноническим уравнением прямой.¹

Общее уравнение и уравнение через нормаль

Условие принадлежности точки прямой можно записать через нормаль \(n=(A,B)\ne0\):

\[(r-r_0,n)=0,\]

или

\[A(x-x_0)+B(y-y_0)=0.\]

После раскрытия скобок получаем общее уравнение

\[Ax+By=D.\]

Вектор \((A,B)\) перпендикулярен прямой, а направляющим можно взять \((-B,A)\).¹

Форма в отрезках и нормальное уравнение Гессе

Если \(D\ne0\) и оба коэффициента \(A,B\) ненулевые, общее уравнение можно привести к форме в отрезках

\[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1,\]

где \((a,0)\) и \((0,b)\) — точки пересечения с осями. В прямоугольной системе при единичной нормали \(n=(\cos\alpha,\sin\alpha)\) используется нормальное уравнение прямой, или форма Гессе,

\[x\cos\alpha+y\sin\alpha=p.\]

При выборе направления нормали так, что \(p\ge0\), число \(p\) равно расстоянию от начала координат до прямой.^{1, 2}