Классификация по направляющим векторам
Пусть
\[l_1:r=r_1+t a_1,\qquad l_2:r=r_2+s a_2.\]
Если \(a_1\) и \(a_2\) линейно независимы, уравнение \(r_1+t a_1=r_2+s a_2\) имеет единственное решение по параметрам, поэтому прямые пересекаются в одной точке.1
Если \(a_1,a_2\) коллинеарны, возможны два случая. Если \(r_2-r_1\) коллинеарен им, прямые совпадают. Если нет, прямые различны и параллельны.1
Критерии для общих уравнений
Для
\[A_1x+B_1y=D_1,\qquad A_2x+B_2y=D_2\]
определитель
\[\Delta=A_1B_2-A_2B_1\]
является определителем системы двух линейных уравнений. При \(\Delta\ne0\) система имеет единственное решение — точку пересечения. При \(\Delta=0\) нормали коллинеарны; если тройки коэффициентов \((A_1,B_1,D_1)\) и \((A_2,B_2,D_2)\) пропорциональны, прямые совпадают, иначе они параллельны и различны.1
Перпендикулярность и угол
Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их ненулевые направляющие векторы ортогональны:
\[a_1\cdot a_2=0.\]
То же условие можно записать для нормалей: \(n_1\cdot n_2=0\). Острый или прямой угол между неориентированными прямыми определяется формулой
\[\cos\varphi=\frac{|a_1\cdot a_2|}{|a_1||a_2|},\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}.\]
Модуль устраняет зависимость от того, в какую сторону выбраны направляющие векторы.1, 2