Расстояние от точки до прямой, ортогональная проекция и симметрия относительно прямой

Пусть в прямоугольных декартовых координатах прямая задана уравнением \(Ax+By=D\), где \((A,B)\ne(0,0)\), а точка \(M_0=(x_0,y_0)\). Подставим координаты точки в левую часть: \(\delta=Ax_0+By_0-D\). Тогда расстояние до прямой равно \[ d=\frac{|\delta|}{\sqrt{A^2+B^2}}. \] Это модуль ориентированного расстояния вдоль нормали.1, 2

Основание перпендикуляра \(H\), то есть ортогональная проекция \(M_0\) на прямую, имеет координаты \[ H=M_0-\frac{\delta}{A^2+B^2}(A,B). \] Точка \(M'\), симметричная \(M_0\) относительно прямой, получается удвоением того же нормального смещения: \[ M'=M_0-2\frac{\delta}{A^2+B^2}(A,B). \]1

Что важно запомнить
  • Для \(Ax+By=D\): \(d=|Ax_0+By_0-D|/\sqrt{A^2+B^2}\).
  • Вектор \((A,B)\) является нормалью к прямой.
  • Проекция: \(H=M_0-\dfrac{Ax_0+By_0-D}{A^2+B^2}(A,B)\).
  • Симметричная точка: \(M'=2H-M_0\).
  • Если уравнение умножить на ненулевое число, геометрическая прямая и результат вычислений не меняются.

Расстояние от точки до прямой

В прямоугольных декартовых координатах рассмотрим прямую

\[Ax+By=D,\qquad (A,B)\ne(0,0),\]

и точку \(M_0=(x_0,y_0)\). Именно в такой системе вектор \(n=(A,B)\) является нормалью к прямой. Выражение

\[\delta=Ax_0+By_0-D\]

показывает, насколько точка смещена от прямой в направлении нормали. Деление на длину нормали даёт ориентированное расстояние, а его модуль — обычное расстояние:

\[d(M_0,l)=\frac{|Ax_0+By_0-D|}{\sqrt{A^2+B^2}}.\]1, 2

Ортогональная проекция

Основание перпендикуляра \(H\) лежит на прямой и отличается от \(M_0\) на вектор, параллельный нормали. Поэтому \(H=M_0-\lambda n\). Подстановка в уравнение прямой даёт

\[\lambda=\frac{Ax_0+By_0-D}{A^2+B^2}.\]

Следовательно,

\[H=\left(x_0-\frac{A\delta}{A^2+B^2},\;y_0-\frac{B\delta}{A^2+B^2}\right).\]1

Симметрия относительно прямой

Если \(M'\) симметрична \(M_0\) относительно прямой, то \(H\) является серединой отрезка \(M_0M'\). Поэтому

\[M'=2H-M_0=M_0-2\frac{\delta}{A^2+B^2}(A,B).\]

Если \(M_0\) уже лежит на прямой, то \(\delta=0\), расстояние равно нулю, а проекция и симметричная точка совпадают с \(M_0\).1

Пример простыми словами

Пусть прямая задана уравнением \(x+2y=5\), а точка равна \((1,4)\). Подстановка даёт \(\delta=4\), поэтому расстояние равно \(4/\sqrt5\). Та же величина со знаком задаёт, на сколько нужно сдвинуть точку вдоль нормали, чтобы попасть на прямую.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Корпусов М. О. Консультация 6. Прямая на плоскости Кафедра математики физического факультета МГУ. 21 с.
  2. 2 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 202–205; 209–211.