Параметрическое представление
Пусть \(M_0\) — точка плоскости, а \(a,b\) — два неколлинеарных вектора, лежащих в ней. Тогда каждая точка плоскости имеет радиус-вектор
\[r=r_0+ua+vb,\qquad u,v\in\mathbb R.\]
В координатах это даёт три параметрических уравнения. Два параметра отражают двумерность плоскости.1, 2
Каноническая форма через компланарность
Векторы \(r-r_0\), \(a\) и \(b\) должны быть компланарны. Поэтому
\[(r-r_0,a,b)=0.\]
В правом ортонормированном базисе это равносильно равенству нулю определителя, составленного из их координат.1
Уравнение через нормаль и общее уравнение
Если \(n\ne0\) перпендикулярен плоскости, то
\[(r-r_0,n)=0.\]
В прямоугольных декартовых координатах при \(n=(A,B,C)\) получаем
\[Ax+By+Cz=D.\]
В этой системе коэффициенты \(A,B,C\) являются координатами нормали, а \(D=(r_0,n)\) определяет положение плоскости относительно начала координат. В косоугольных декартовых координатах общее линейное уравнение плоскости сохраняется, но его коэффициенты нельзя без дополнительного метрического пересчёта трактовать как координаты нормали.2
Нормальное уравнение и форма в отрезках
В прямоугольной системе разделим общее уравнение на \(|n|=\sqrt{A^2+B^2+C^2}\) и выберем знак единичной нормали. Тогда
\[x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma=p,\]
где \(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\) — направляющие косинусы единичной нормали. При выборе \(p\ge0\) число \(p\) равно расстоянию от начала координат до плоскости. Если \(D\ne0\) и \(A,B,C\ne0\), то
\[\frac{x}{D/A}+\frac{y}{D/B}+\frac{z}{D/C}=1,\]
то есть \(x/a+y/b+z/c=1\), где \(a,b,c\) — отрезки на координатных осях.1