Прямая в пространстве: параметрическое, каноническое и другие эквивалентные представления

Прямая в пространстве задаётся точкой \(M_0(r_0)\) и ненулевым направляющим вектором \(a\): \[ r=r_0+ta,\qquad t\in\mathbb R. \] В координатах \(x=x_0+ta_x\), \(y=y_0+ta_y\), \(z=z_0+ta_z\). Если соответствующие компоненты направления ненулевые, параметр исключается и получается каноническая запись \[ \frac{x-x_0}{a_x}=\frac{y-y_0}{a_y}=\frac{z-z_0}{a_z}. \]1, 2

Прямую также можно задать как пересечение двух непараллельных плоскостей. В векторной форме курса встречается уравнение \([r,a]=b\): при \(a\ne0\) и \((a,b)=0\) множество решений является прямой, параллельной \(a\).1

Что важно запомнить
  • Векторная форма: \(r=r_0+ta\), \(a\ne0\).
  • Параметрическая координатная форма: \(x=x_0+ta_x\), \(y=y_0+ta_y\), \(z=z_0+ta_z\).
  • Каноническая пропорция требует отдельного разбора нулевых компонент направления.
  • Прямая может быть пересечением двух непараллельных плоскостей.
  • Векторное уравнение \([r,a]=b\) задаёт прямую при \(a\ne0\) и \((a,b)=0\).

Векторная и параметрическая формы

Пусть \(M_0\) принадлежит прямой, а \(a\ne0\) задаёт её направление. Тогда

\[r=r_0+ta,\qquad t\in\mathbb R.\]

В прямоугольных координатах:

\[x=x_0+ta_x,\qquad y=y_0+ta_y,\qquad z=z_0+ta_z.\]1, 2

Каноническая форма

Если \(a_x,a_y,a_z\ne0\), параметр исключается:

\[\frac{x-x_0}{a_x}=\frac{y-y_0}{a_y}=\frac{z-z_0}{a_z}.\]

Если, например, \(a_x=0\), то вместо дроби с нулевым знаменателем нужно записать \(x=x_0\), а две остальные координаты связать общей пропорцией.1

Пересечение двух плоскостей

Две непараллельные плоскости

\[(r,n_1)=D_1,\qquad (r,n_2)=D_2\]

пересекаются по прямой. Её направляющий вектор можно взять \(a=n_1\times n_2\). После нахождения любой общей точки \(r_0\) получаем форму \(r=r_0+ta\).1, 2

Векторное уравнение \([r,a]=b\)

В обозначениях курса \([r,a]\) означает векторное произведение \(r\times a\). Уравнение

\[[r,a]=b\]

имеет решения только при \((a,b)=0\). Если \(a\ne0\) и это условие выполнено, одно частное решение можно взять

\[r_0=\frac{a\times b}{|a|^2},\]

после чего все решения имеют вид \(r=r_0+ta\).1

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Корпусов М. О. Консультация 8. Векторные уравнения прямой и плоскости Кафедра математики физического факультета МГУ. 23 с.
  2. 2 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 176–180; 209–211.