Для плоскостей \((r,n_1)=D_1\) и \((r,n_2)=D_2\) решающую роль играют их нормали. Если \(n_1\) и \(n_2\) неколлинеарны, плоскости пересекаются по прямой. Если \(n_2=\lambda n_1\), плоскости имеют параллельные нормали. Они совпадают тогда и только тогда, когда одновременно \(D_2=\lambda D_1\); иначе это две различные параллельные
Угол между неориентированными плоскостями определяют как острый или прямой угол между их нормалями:
\[
\cos\varphi=\frac{|(n_1,n_2)|}{|n_1||n_2|},\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}.
\]
Перпендикулярность плоскостей эквивалентна
Что важно запомнить
- Неколлинеарные нормали ⇒ плоскости пересекаются по прямой.
- Коллинеарные нормали ⇒ плоскости параллельны или совпадают.
- Если \(n_2=\lambda n_1\), совпадение требует \(D_2=\lambda D_1\).
- Угол между плоскостями вычисляют через угол между нормалями.
- Перпендикулярность: \((n_1,n_2)=0\).
Пересекающиеся плоскости
Пусть
\[\Pi_1:(r,n_1)=D_1,\qquad \Pi_2:(r,n_2)=D_2.\]
Если \(n_1\times n_2\ne0\), нормали неколлинеарны, поэтому плоскости не параллельны и пересекаются по единственной прямой. Её направляющий вектор можно выбрать
Параллельность и совпадение
Если \(n_2=\lambda n_1\) для некоторого \(\lambda\ne0\), плоскости имеют параллельные нормали. Тогда они либо различны и параллельны, либо совпадают. Подстановка коэффициентов показывает:
\[\Pi_1=\Pi_2\quad\Longleftrightarrow\quad n_2=\lambda n_1,\;D_2=\lambda D_1.\]
Если пропорциональность свободных членов нарушена, общих точек
Угол между плоскостями
Неориентированный угол между плоскостями принимают в диапазоне \(0\le\varphi\le\pi/2\) и вычисляют по нормалям:
\[\cos\varphi=\frac{|(n_1,n_2)|}{|n_1||n_2|}.\]
Отсюда плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормали
Пример простыми словами
Координатные плоскости \(x=0\) и \(y=0\) можно представить как две вертикальные стены, пересекающиеся под прямым углом. Их нормали \((1,0,0)\) и \((0,1,0)\) ортогональны, а линия пересечения — ось \(Oz\).
