Взаимное расположение прямой и плоскости: пересечение, параллельность, принадлежность и угол

Пусть прямая задана \(r=r_0+ta\), а плоскость — \((r,n)=D\). Подстановка прямой в уравнение плоскости даёт \[ (r_0,n)+t(a,n)=D. \] Если \((a,n)\ne0\), существует единственная точка пересечения: \[ t=\frac{D-(r_0,n)}{(a,n)}. \]1, 2

Если \((a,n)=0\), прямая параллельна плоскости. Она целиком лежит в плоскости, когда дополнительно \((r_0,n)=D\); иначе общих точек нет. Острый угол \(\varphi\) между прямой и плоскостью удовлетворяет \[ \sin\varphi=\frac{|(a,n)|}{|a||n|}. \]1

Что важно запомнить
  • \((a,n)\ne0\) ⇒ одна точка пересечения.
  • \((a,n)=0\) и \((r_0,n)\ne D\) ⇒ прямая параллельна плоскости и не лежит в ней.
  • \((a,n)=0\) и \((r_0,n)=D\) ⇒ вся прямая лежит в плоскости.
  • \(t=(D-(r_0,n))/(a,n)\) в случае единственного пересечения.
  • \(\sin\varphi=|(a,n)|/(|a||n|)\) для угла между прямой и плоскостью.

Пересечение прямой и плоскости

Пусть

\[l:r=r_0+ta,\qquad \Pi:(r,n)=D.\]

Подстановка даёт линейное уравнение относительно \(t\):

\[(r_0,n)+t(a,n)=D.\]

Если \((a,n)\ne0\), оно имеет единственное решение

\[t_*=\frac{D-(r_0,n)}{(a,n)},\]

а точка пересечения равна \(r_*=r_0+t_*a\).1, 2

Параллельность и принадлежность

Условие \((a,n)=0\) означает, что направление прямой ортогонально нормали, то есть параллельно плоскости. После этого остаётся проверить одну точку прямой:

если \((r_0,n)=D\), то \(l\subset\Pi\); если \((r_0,n)\ne D\), прямая и плоскость не имеют общих точек.1

Угол между прямой и плоскостью

Пусть \(\theta\) — угол между направляющим вектором \(a\) и нормалью \(n\). Угол между прямой и плоскостью является дополнением к \(\theta\), поэтому

\[\sin\varphi=\frac{|(a,n)|}{|a||n|},\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}.\]

При \((a,n)=0\) имеем \(\varphi=0\), а если \(a\) коллинеарен \(n\), то прямая перпендикулярна плоскости и \(\varphi=\pi/2\).1, 2

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Корпусов М. О. Консультация 7. Прямая и плоскость в пространстве Кафедра математики физического факультета МГУ. 20 с.
  2. 2 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 178–180; 205–208.