Взаимное расположение двух прямых в пространстве: пересечение, параллельность, совпадение, скрещивание, общий перпендикуляр и расстояние

Пусть \(l_1:r=r_1+ta\) и \(l_2:r=r_2+sb\). Сначала сравнивают направления. Если \(a\times b=0\), они коллинеарны. Прямые совпадают, когда \(r_2-r_1\) коллинеарен тому же направлению; в противном случае они параллельны и различны.1, 2

Если \(a\times b\ne0\), прямые не параллельны. Их взаимное положение определяет смешанное произведение \((r_2-r_1,a,b)\). Нулевое значение означает компланарность, а значит единственную точку пересечения. Ненулевое значение означает, что прямые скрещиваются.1, 2

Для параллельных прямых \[ d=\frac{|(r_2-r_1)\times a|}{|a|}, \] а для скрещивающихся \[ d=\frac{|(r_2-r_1,a,b)|}{|a\times b|}. \] Направление общего перпендикуляра скрещивающихся прямых параллельно \(a\times b\).1

Что важно запомнить
  • \(a\times b=0\) ⇒ прямые параллельны или совпадают.
  • При параллельных направлениях совпадение требует \((r_2-r_1)\times a=0\).
  • \(a\times b\ne0\) и \((r_2-r_1,a,b)=0\) ⇒ прямые пересекаются.
  • \(a\times b\ne0\) и смешанное произведение ненулевое ⇒ прямые скрещиваются.
  • Для скрещивающихся \(d=|(r_2-r_1,a,b)|/|a\times b|\).
  • Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых имеет направление \(a\times b\).

Параллельные и совпадающие прямые

Пусть

\[l_1:r=r_1+ta,\qquad l_2:r=r_2+sb.\]

Если \(a\times b=0\), направления коллинеарны. Тогда прямые совпадают, если вектор между их опорными точками также коллинеарен направлению:

\[(r_2-r_1)\times a=0.\]

Если это условие не выполнено, прямые различны и параллельны.1, 2

Пересекающиеся и скрещивающиеся прямые

Пусть \(a\times b\ne0\). Тогда прямые не параллельны. Они лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда

\[(r_2-r_1,a,b)=0.\]

В этом случае две непараллельные компланарные прямые пересекаются в единственной точке. Если смешанное произведение ненулевое, общей плоскости нет и прямые скрещиваются.1, 2

Расстояние

Для параллельных прямых расстояние равно высоте параллелограмма:

\[d=\frac{|(r_2-r_1)\times a|}{|a|}.\]

Для скрещивающихся прямых расстояние является модулем проекции \(r_2-r_1\) на направление \(a\times b\):

\[d=\frac{|(r_2-r_1,a,b)|}{|a\times b|}.\]1

Общий перпендикуляр

У скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр, пересекающий обе прямые. Его направление ортогонально и \(a\), и \(b\), поэтому параллельно \(a\times b\). Для нахождения точек пересечения с исходными прямыми решают условие, что вектор между точками \(r_1+ta\) и \(r_2+sb\) ортогонален обоим направлениям.1

Пример простыми словами

Хороший пример скрещивания: одна прямая идёт вдоль оси \(Ox\), а другая — вдоль направления \(Oy\), но проходит через точку \((0,1,1)\). Они не параллельны и не пересекаются. Кратчайший отрезок между ними направлен вдоль \(Oz\) и имеет длину 1.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Корпусов М. О. Консультация 7. Прямая и плоскость в пространстве Кафедра математики физического факультета МГУ. 20 с.
  2. 2 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 179–181; 209–211.