Определение и каноническое уравнение
Пусть \(F_1,F_2\) — две фиксированные точки, \(F_1F_2=2c\). Эллипсом называют множество точек \(M\), для которых
\[MF_1+MF_2=2a,\qquad a>c\ge0.\]
Выбирая начало координат в середине фокусов, а ось \(Ox\) вдоль \(F_1F_2\), получают
\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad b^2=a^2-c^2.\]1, 2
Фокусы имеют координаты \((\pm c,0)\), а эксцентриситет \(e=c/a\). Для невырожденного эллипса \(0\le e<1\). При \(c=0\) получаем окружность.1
Параметрическая форма и фокальные свойства
Удобная параметризация:
\[x=a\cos t,\qquad y=b\sin t.\]
Для \(e>0\) директрисы имеют уравнения \(x=\pm a/e\). Отношение расстояния от точки эллипса до соответствующего фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы постоянно и равно \(e\). Фокальные радиусы линейно выражаются через абсциссу: при согласованной нумерации фокусов \(r_{1,2}=a\pm ex\).1
Касательная
Если \(M_0=(x_0,y_0)\) принадлежит эллипсу, касательная в этой точке задаётся формулой
\[\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1.\]1, 2
Оптическое свойство
Касательная в точке \(M\) образует равные углы с прямыми \(MF_1\) и \(MF_2\). Поэтому нормаль к эллипсу является биссектрисой угла между направлениями к фокусам. В оптической интерпретации луч, вышедший из одного фокуса, после зеркального отражения от эллипса проходит через второй фокус.1