Гипербола: определение, каноническое уравнение, асимптоты, фокальные свойства, касательная и оптическое свойство

Гипербола — множество точек \(M\), для которых модуль разности расстояний до двух фокусов постоянен: \[ |MF_1-MF_2|=2a. \] В канонической системе \[ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1, \] фокусы имеют координаты \((\pm c,0)\), где \(c^2=a^2+b^2\), а эксцентриситет \(e=c/a>1\). Асимптоты имеют уравнения \(y=\pm(b/a)x\).^{1, 2}

Касательная в точке \((x_0,y_0)\) задаётся \[ \frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1. \] Директрисы имеют вид \(x=\pm a/e\). Касательная образует равные углы с фокальными направлениями, если одно из них продолжить за точку касания. Поэтому луч, вышедший из одного фокуса, отражается от гиперболы так, что обратное продолжение отражённого луча проходит через второй фокус.¹

Что важно запомнить

Определение: \(|MF_1-MF_2|=2a\).
Каноническое уравнение: \(x^2/a^2-y^2/b^2=1\).
\(c^2=a^2+b^2\), \(e=c/a>1\).
Асимптоты: \(y=\pm(b/a)x\).
Касательная: \(xx_0/a^2-yy_0/b^2=1\).
Директрисы: \(x=\pm a/e\).
Оптическое свойство: касательная образует равные углы с фокальными направлениями с учётом продолжения одного из них; обратное продолжение отражённого луча проходит через второй фокус.

Определение и каноническая форма

Пусть \(F_1,F_2\) — фиксированные фокусы. Гиперболой называют множество точек \(M\), для которых

\[|MF_1-MF_2|=2a,\]

где \(0<a<c\), \(2c=F_1F_2\). В канонической системе

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\qquad b^2=c^2-a^2.\]^{1, 2}

Фокусы равны \((\pm c,0)\), эксцентриситет \(e=c/a>1\).¹

Асимптоты

При больших \(|x|\) ветви гиперболы приближаются к прямым

\[y=\pm\frac{b}{a}x.\]

Эти прямые являются её асимптотами. Они проходят через центр гиперболы и определяют направления ветвей на бесконечности.¹

Фокальные свойства и касательная

Директрисы канонической гиперболы имеют уравнения \(x=\pm a/e\), а отношение расстояния до соответствующего фокуса к расстоянию до директрисы равно \(e\). Фокальные радиусы на каждой ветви линейно выражаются через \(x\), но знак формулы зависит от ветви и нумерации фокусов.¹

В точке \(M_0=(x_0,y_0)\) гиперболы касательная имеет вид

\[\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1.\]^{1, 2}

Оптическое свойство

Касательная к гиперболе в точке \(M\) образует равные углы с двумя фокальными направлениями, если одно из них продолжить за точку \(M\). Поэтому луч, вышедший из одного фокуса, после отражения от гиперболы идёт так, что обратное продолжение отражённого луча проходит через второй фокус. В отличие от эллипса, сам отражённый луч через второй фокус не проходит.¹

Пример простыми словами

У гиперболы \(x^2/9-y^2/16=1\) параметры образуют знакомую тройку \(3\!-!4\!-!5\): \(a=3\), \(b=4\), \(c=5\). Поэтому фокусы лежат в \((\pm5,0)\), а асимптоты имеют наклоны \(\pm4/3\). Этого уже достаточно, чтобы быстро набросать форму ветвей.

Другие вопросы

Источники

1 Корпусов М. О. Консультация 9. Эллипс, гипербола, парабола Кафедра математики физического факультета МГУ. 13 с.
2 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 212–228.