Парабола: определение, каноническое уравнение, фокус и директриса, касательная и оптическое свойство

Парабола — множество точек, равноудалённых от фиксированной точки и фиксированной прямой. Эту точку называют фокусом \(F\), а прямую — директрисой. Если вершина находится в начале координат, а ось параболы совпадает с \(Ox\), каноническое уравнение имеет вид \[ y^2=2px,\qquad p>0. \] Тогда фокус равен \(F=(p/2,0)\), директриса задаётся уравнением \(x=-p/2\), а эксцентриситет равен 1.1, 2

В точке \(M_0=(x_0,y_0)\) касательная задаётся формулой \[ yy_0=p(x+x_0). \] Лучи, падающие параллельно оси параболы, после зеркального отражения проходят через фокус. Обратно, луч из фокуса отражается параллельно оси.1

Что важно запомнить
  • Парабола: расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.
  • Каноническая форма: \(y^2=2px\), \(p>0\).
  • Фокус: \((p/2,0)\).
  • Директриса: \(x=-p/2\).
  • Эксцентриситет: \(e=1\).
  • Касательная: \(yy_0=p(x+x_0)\).
  • Параллельный оси луч после отражения проходит через фокус.

Фокально-директориальное определение

Пусть \(F\) — фиксированная точка, а \(d\) — прямая, не проходящая через неё. Параболой называют множество точек \(M\), для которых

\[MF=\operatorname{dist}(M,d).\]

Поэтому эксцентриситет параболы равен \(e=1\).1, 2

Каноническое уравнение

Расположим вершину в начале координат, фокус на положительной полуоси \(Ox\) и обозначим расстояние от фокуса до директрисы через \(p>0\). Тогда

\[F=(p/2,0),\qquad d:\ x=-p/2.\]

Из равенства расстояний получается

\[y^2=2px.\]1, 2

Касательная

Если \(M_0=(x_0,y_0)\) принадлежит параболе, то касательная в этой точке имеет уравнение

\[yy_0=p(x+x_0).\]1

В вершине \((0,0)\) эта формула даёт \(x=0\), то есть касательную, перпендикулярную оси параболы.1

Оптическое свойство

Касательная в точке параболы образует равные углы с фокальным радиусом и направлением, параллельным оси. Поэтому луч, падающий параллельно оси, после зеркального отражения проходит через фокус. Обратно, луч из фокуса отражается параллельно оси.1

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Корпусов М. О. Консультация 9. Эллипс, гипербола, парабола Кафедра математики физического факультета МГУ. 13 с.
  2. 2 Овчинников А. В. Алгебра и геометрия для студентов-физиков. Лекционный курс. Семестр 1 М.: Физический факультет МГУ, 2016 г. С. 212–228.