Фокус, директриса и эксцентриситет
Эллипс, параболу и гиперболу можно описать единым условием
\[MF=e\,\operatorname{dist}(M,d),\]
где \(F\) — фокус, \(d\) — соответствующая директриса, а \(e>0\) — эксцентриситет. Для невырожденного неокружностного эллипса \(0<e<1\), для параболы \(e=1\), для гиперболы \(e>1\). При \(e=0\) обычная интерпретация через конечную директрису перестаёт работать. Если же формально продолжить полярную формулу на \(e=0\), получится окружность.1, 2
Вывод полярной формы
Поместим \(F\) в полюс, а полярную ось направим к директрисе. Пусть расстояние от фокуса до директрисы равно \(d_0\), а точка имеет полярные координаты \((r,\varphi)\). В выбранной ориентации расстояние до директрисы равно \(d_0-r\cos\varphi\). Тогда
\[r=e(d_0-r\cos\varphi).\]
Отсюда
\[r(1+e\cos\varphi)=ed_0.\]
При \(e>0\) обозначим \(\ell=ed_0\). Тогда получаем
\[r=\frac{\ell}{1+e\cos\varphi}.\]1
Если полярная ось направлена противоположно, знак перед \(e\cos\varphi\) меняется. Поэтому знак — часть выбранной координатной конвенции, а не различие между типами коник.1
Как эксцентриситет определяет тип коники
Для коник с конечной директрисой имеем \(e>0\). При \(0<e<1\) знаменатель остаётся положительным для всех \(\varphi\), и получается замкнутый эллипс. При \(e=1\) возникает парабола. При \(e>1\) допустимые направления разделяются асимптотическими границами, что соответствует ветвям гиперболы.1, 2
Фокальный параметр связан с каноническими параметрами: для эллипса и гиперболы \(\ell=b^2/a\), а для параболы \(y^2=2px\) — \(\ell=p\).1
Если в алгебраической формуле при фиксированном \(\ell>0\) положить \(e=0\), получаем \(r=\ell\), то есть окружность с центром в полюсе. Это специальное продолжение формулы, а не случай с конечной директрисой.1